Функции, графики Непрерывность функций и точки разрыва Примеры

Напомним, что непрерывность функции в точке означает, что $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ , то есть
$\forall{\varepsilon}>0\ \exists{\delta}>0\ \forall x\in I: \vert x-x_0\vert<{\delta}\Longrightarrow \vert f(x)-f(x_0)\vert<{\varepsilon}.$
Тем самым непрерывность функции на интервале или отрезке $I\sbs\mathcal{D}(f)$ означает, что
$\forall x_0\in I\ \forall{\varepsilon}>0\ \exists{\delta}>0\ \forall x\in I: \vert x-x_0\vert<{\delta}\Longrightarrow \vert f(x)-f(x_0)\vert<{\varepsilon}.$
При этом мы имеем право выбирать число ${\delta}>0$ в зависимости от ${\varepsilon}$ и, главное, от точки $x_0\in I$ .
Предположим теперь, что число ${\delta}>0$ можно выбрать общим для всех $x_0\in I$ (но, конечно, зависящим от ${\varepsilon}$ ). Тогда говорят, что свойство функции быть непрерывной в точке выполнено равномерно по $x_0\in I$ .
Дадим теперь такое

        Определение 3.5 Пусть -- некоторая функция и $I\sbs\mathcal{D}(f)$ . Функция равномерно непрерывна на , если
$\forall{\varepsilon}>0\ \exists{\delta}>0\ \forall x_0,x\in I: \vert x-x_0\vert<{\delta}\Longrightarrow \vert f(x)-f(x_0)\vert<{\varepsilon}.$
Приведём пример равномерно непрерывной функции.
        Пример 3.15 Рассмотрим функцию $f(x)=\sin x$ и покажем, что она равномерно непрерывна на всей числовой оси $\mathbb{R}$ . Фиксируем число ${\varepsilon}>0$ и положим ${\delta}={\varepsilon}$ . Выберем теперь любые две точки и , такие что $\vert x-x_0\vert<{\varepsilon}$ , и покажем, что тогда ${\vert\sin x-\sin x_0\vert<{\varepsilon}}$ . Действительно,

$\displaystyle \vert\sin x-\sin x_0\vert=\left\vert 2\cos\dfrac{x+x_0}{2}\sin\df... ...left\vert\dfrac{x-x_0}{2}\right\vert= \vert x-x_0\vert\leqslant {\varepsilon},$

так как, во-первых, $\left\vert\cos\dfrac{x-x_0}{2}\right\vert\leqslant 1$ при всех и и, во-вторых, $\vert\sin{\alpha}\vert\leqslant \vert{\alpha}\vert$ при всех ${\alpha}\in\mathbb{R}$ (у нас ${\alpha}=x-x_0$ ). Таким образом. равномерная непрерывность функции $\sin$ доказана.
Лучше изучить условие равномерности по мы сможем, приведя пример, где оно нарушается.

Функции, графики Непрерывность функций и точки разрыва

Равномерная непрерывность