Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Скачать порно ролики с блондинками. Скачать бесплатно частное порно видео. Основы ТОЭ | Электрические цепи | Ищешь Масло: печь на отработке масла. Покупаем отработку масла. Функции | Производные | Матрицы | Аквамарин. Скидки - аквамарин. Изделия из аквамарина. Алгебра | Первообразная | Интегралы | Порно клипы и порнуха и порно фото. Порно клипы, порно видео. Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Кривые и поверхности второго порядка - лекции, задачи Высшая математика в примерах

Гипербола

Из школьного курса математики известно, что кривая, задаваемая уравнением $ {y=\frac kx}$ , где $ k$  -- число, называется гиперболой. Однако это -- частный случай гиперболы (равносторонняя гипербола).
        Определение 12.5   Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.         

Так же, как и в случае эллипса, для получения уравнения гиперболы выберем подходящую систему координат. Начало координат расположим на середине отрезка между фокусами, ось $ Ox$ направим вдоль этого отрезка, а ось ординат -- перпендикулярно к нему.

Теорема 12.3  Пусть расстояние между фокусами $ F_1$ и $ F_2$ гиперболы равно $ 2c$ , а абсолютная величина разности расстояний от точки гиперболы до фокусов равна $ 2a$ . Тогда гипербола в выбранной выше системе координат имеет уравнение
$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,$(12.8)

где
$\displaystyle b=\sqrt{c^2-a^2}.$(12.9)

        Доказательство.     Пусть $ M(x;y)$  -- текущая точка гиперболы (рис. 12.9).


Рис.12.9.

Так как разность двух сторон треугольника меньше третьей стороны, то $ {\vert F_1M-F_2M\vert<F_1F_2}$ , то есть $ 2a<2c$ , $ a<c$ . В силу последнего неравенства вещественное число $ b$ , определяемое формулой (12.9), существует.

По условию, фокусы -- $ F_1(-c;0)$ , $ F_2(c;0)$ . По формуле (10.4) для случая плоскости получаем

$\displaystyle F_1M=\sqrt{(x+c)^2+(y-0)^2}=\sqrt{(x+c)^2+y^2},\quad F_2M=\sqrt{(x-c)^2 +y^2}.$
По определению гиперболы
$\displaystyle \left\vert\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}\right\vert=2a.$
Это уравнение запишем в виде
$\displaystyle \sqrt{(x+c)^2+y^2}=\sqrt{(x-c)^2+y^2}\pm2a.$
Обе части возведем в квадрат:
$\displaystyle x^2+2xc+c^2+y^2=x^2-2xc+c^2+y^2\pm4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+4a^2.$
После приведения подобных членов и деления на 4, приходим к равенству
$\displaystyle xc-a^2=\pm a\sqrt{(x-c)^2+y^2}.$
Опять обе части возведем в квадрат:
% latex2html id marker 47405 $\displaystyle x^2c^2-2xca^2+a^4=a^2(x^2-2xc+c^2+y^2).$
Раскрывая скобку и приводя подобные члены, получим
$\displaystyle x^2(c^2-a^2)-a^2y^2=a^2(c^2-a^2).$
С учетом формулы (12.9) уравнение принимает вид
$\displaystyle x^2b^2-a^2y^2=a^2b^2.$
Разделим обе части уравнения на $ a^2b^2$ и получим уравнение (12.8)     

Уравнение (12.8) называется каноническим уравнением гиперболы.

 Предложение 12.3  Гипербола обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых лежат фокусы гиперболы, и центром симметрии. Если гипербола задана каноническим уравнением, то ее осями симметрии служат координатные оси $ Ox$ и $ Oy$ , а начало координат -- центр симметрии гиперболы.

        Доказательство.     Проводится аналогично доказательству предложения 12.1.     

Проведем построение гиперболы, заданной уравнением (12.8). Заметим, что из-за симметрии достаточно построить кривую только в первом координатном угле. Выразим из канонического уравнения $ y$ как функцию $ x$ , при условии, что $ y>0$ ,

$\displaystyle y=\frac ba\sqrt{x^2-a^2}$
и построим график этой функции.

Область определения -- интервал

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

 

Сборник заданий по ТОЭ Теоретическим основам электротехники Примеры решений

 
Расчет электрических цепей Цепи постоянного и переменного тока Расчёт трёхфазных электрических цепей Законы Кирхгофа и расчёт резистивных электрических цепей Расчёт магнитной цепи Расчёт электрического поля Сборник заданий по ТОЭ Явление электромагнитной индукции и магнитные цепи Электрические цепи постоянного тока Электрические цепи переменного тока Баланс мощностей Граф электрической цепи Лекции по курсу основы электротехники