Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | франчайзинг купить Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Функции, графики Непрерывность функций и точки разрыва Функции исследования


Определение непрерывности функции

Пример 3.1 Пусть $ f(x)=\sqrt{\vert x\vert}$ и $ x_0=0$. Тогда $ \lim\limits_{x\to0}f(x)=\lim\limits_{x\to0}\sqrt{\vert x\vert}=0$ и $ {f(0)=\sqrt{0}=0}$. Эти значения совпадают, значит, функция $ f$ непрерывна в точке $ x_0=0$.
(Функция $ f(x)=\sqrt{\vert x\vert}=(x^2)^{\frac{1}{4}}$-- элементарная функция; $ x_0=0$-- точка её области определения . Все элементарные функции непрерывны во всех внутренних точках своих областей определения, в том числе и эта. Так что в этом примере можно было бы заменить $ f(x)$ $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$любой элементарной функцией, а $ x_0=0$-- любой внутренней точкой области $ \mathcal{D}(f)$, и вывод остался бы тем же.)

Пример 3.2 Рассмотрим функцию $ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{\sin x}{x},&\mbox{при }x\ne0;\\ 1,&\mbox{при }x=0\end{array}\right.$ и точку $ {x_0=0}$. При $ {x\ne0}$ функция задаётся формулой $ {f(x)=\dfrac{\sin x}{x}}$, при этом имеем $ {\lim\limits_{x\to0}f(x)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1}$ (первый замечательный предел). Это значение совпадает с тем, которое задано при $ x=0$: $ f(0)=1$. Итак, $ \lim\limits_{x\to0}f(x)=f(0)=1$, что означает непрервыность функции $ f$ при $ x_0=0$.

Тем, кто внимательно изучил данное в главе 2 общее понятие базы предела, можно предложить продумать и доказать следующее утверждение:

Предложение 3.2 Пусть $ \mathcal{B}(x_0)$-- база непроколотых окрестностей точки $ x_0$, окончаниями которой служат интервалы $ (x_0-{\delta};x_0+{\delta})$, $ {\delta}>0$; $ \mathcal{B}(x_0-)$-- база непроколотых левых окрестностей точки $ x_0$, окончаниями которой служат полуинтервалы $ (x_0-{\delta};x_0]$, $ {\delta}>0$; $ \mathcal{B}(x_0+)$-- база непроколотых правых окрестностей точки $ x_0$, окончаниями которой служат полуинтервалы $ [x_0;x_0+{\delta})$, $ {\delta}>0$. Тогда непрерывность функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ эквивалентна тому, что существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}(x_0)}f(x)$; непрерывность слева в точке $ x_0$-- тому, что существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}(x_0-)}f(x)$; непрерывность справа в точке $ x_0$-- тому, что существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}(x_0+)}f(x)$.

 

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"
Типовой расчет

  • Функции и их графики Непрерывность функций и точки разрыва
  • Производные и дифференциалы Пределы Матанализ
  • Формула Тейлора Матрицы, примеры выполнения заданий
  • Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
  • Функции и графики, нахождение корней уравнений
  • Векторная алгебра Прямые линии и плоскости
  • Кривые и поверхности, Линейные пространства и преобразования
  • Комплексные числа , Свойства дифференцируемых функций

    •  

    ;