Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Векторная алгебра Прямые линии и плоскости Примеры Векторная алгебра

Угол между плоскостями

Пусть плоскости $ \Pi_1$ и $ \Pi_2$ заданы соответственно уравнениями $ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ и $ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ . Требуется найти угол $ {\varphi}$ между этими плоскостями.

Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку $ M$ на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры $ l_1$ и $ l_2$ к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы $ {\bf n}_1$ и $ {\bf n}_2$ плоскостей $ \Pi_1$ и $ \Pi_2$ с началами в точке $ M$ (рис. 11.6).




Рис.11.6.Угол между плоскостями

Введение в цифровую электронику

Если через точку $ M$ провести плоскость $ \Pi$ , перпендикулярную линии пересечения плоскостей $ \Pi_1$ и $ \Pi_2$ , то прямые $ l_1$ и $ l_2$ и изображения векторов $ {\bf n}_1$ и $ {\bf n}_2$ будут лежать в этой плоскости. Сделаем чертеж в плоскости $ \Pi$ (возможны два варианта: рис. 11.7 и 11.8).




Рис.11.7.Угол между нормальными векторами острый





Рис.11.8.Угол между нормальными векторами тупой


В одном варианте (рис. 11.7) $ {{\varphi}+{\alpha}=\frac{\pi}2}$ и $ {\psi+{\alpha}=\frac{\pi}2}$ , следовательно, угол $ \psi$ между нормальными векторами равен углу $ {\varphi}$ , являющемуся линейным углом острого двугранного угла между плоскостями $ \Pi_1$ и $ \Pi_2$ .

Во втором варианте (рис. 11.8) $ {\gamma}={\varphi}$ , а угол $ \psi$ между нормальными векторами равен $ \pi-{\gamma}$ . Так как

Введение в цифровую электронику

$\displaystyle \cos\psi=\cos(\pi-{\gamma})=-\cos{\gamma},$

то в обоих случаях $ {\vert\cos\psi\vert=\cos{\varphi}}$ .

По определению скалярного произведения $ {\bf n}_1{\bf n}_2=\vert{\bf n}_1\vert\cdot\vert{\bf n}_2\vert \cos\psi$ . Откуда

$\displaystyle \cos\psi=\frac{{\bf n}_1{\bf n}_2}{\vert{\bf n}_1\vert\cdot\vert{\bf n}_2\vert}$

и соответственно

$\displaystyle \cos{\varphi}=\frac{\vert{\bf n}_1{\bf n}_2\vert}{\vert{\bf n}_1\vert\cdot\vert{\bf n}_2\vert}.$(11.4)


Так как координаты нормальных векторов известны, если заданы уравнения плоскостей, то полученная формула(11.4) позволяет найти косинус острого угла между плоскостями.

Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Получаем условие перпендикулярности плоскостей:

$\displaystyle {\bf n}_1{\bf n}_2=0.$(11.5)


Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы. Получаем условие параллельности плоскостей

$\displaystyle {\bf n}_1=t{\bf n}_2,$(11.6)


где $ t$ -- любое число.

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"
Типовой расчет

  • Функции и их графики Непрерывность функций и точки разрыва
  • Производные и дифференциалы Пределы Матанализ
  • Формула Тейлора Матрицы, примеры выполнения заданий
  • Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
  • Функции и графики, нахождение корней уравнений
  • Векторная алгебра Прямые линии и плоскости
  • Кривые и поверхности, Линейные пространства и преобразования
  • Комплексные числа , Свойства дифференцируемых функций

    •  

    ;