Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Пределы Матанализ Производные и дифференциалы Матанализ


Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

В этом разделе мы изучим свойства бесконечно малых величин, то есть величин, стремящихся к 0. В следующих разделах на этой основе мы будем изучать свойства величин, имеющих произвольное значение предела.

Определение 2.9 Функция $ {\alpha}(x)$ называется бесконечно малой величиной при базе $ \mathcal{B}$, если её предел при данной базе равен 0, то есть $ {\alpha}\xrightarrow {\mathcal{B}}0$.

Заметим, что в этом определении фигурирует фиксированная база $ \mathcal{B}$; в зависимости от того, какая именно база взята, одна и та же функция может как быть бесконечно малой, так и не быть ею.

Пример 2.8 Рассмотрим функцию $ f(x)=2x-1$. При базе $ x\to\frac{1}{2}$ эта функция является бесконечно малой, а при базе $ x\to0$-- не является.
Рис.2.16.График функции $ y=2x-1$


Проверим это. Покажем, что $ {\lim\limits_{x\to\frac{1}{2}}(2x-1)=0}$. Возьмём произвольное $ {{\varepsilon}>0}$ и решим неравенство $ {\vert(2x-1)-0\vert<{\varepsilon}}$. Оно эквивалентно неравенству $ {-{\varepsilon}<2x-1<{\varepsilon}}$. Получаем ; это означает, что при $ {x\in(\frac{1}{2}-{\delta};\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2};\frac{1}{2}+{\delta})}$, где $ {{\delta}=\dfrac{{\varepsilon}}{2}}$, неравенство $ {\vert(2x-1)-0\vert<{\varepsilon}}$ выполняется, то есть $ {2x-1\xrightarrow {x\to\frac{1}{2}}0}$. Мы показали, что $ {2x-1}$-- бесконечно малая при $ {x\to\frac{1}{2}}$.
Теперь покажем, что $ \lim\limits_{x\to0}(2x-1)=-1$, то есть что эта величина не является бесконечно малой при $ x\to0$. Возьмём $ {\varepsilon}>0$ и найдём окрестность точки 0, в которой выполняется неравенство $ \vert(2x-1)-(-1)\vert<{\varepsilon}$. Это неравенство, очевидно, эквивалентно неравенству $ \vert x\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}$, то есть при $ {\delta}=\dfrac{{\varepsilon}}{2}$ попадание $ x$ в $ {\delta}$-окрестность точки 0 гарантирует выполнение неравенства $ \vert(2x-1)-(-1)\vert<{\varepsilon}$. Это означает, что $ (2x-1)\xrightarrow {x\to0}-1$.

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"
Типовой расчет

  • Функции и их графики Непрерывность функций и точки разрыва
  • Производные и дифференциалы Пределы Матанализ
  • Формула Тейлора Матрицы, примеры выполнения заданий
  • Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
  • Функции и графики, нахождение корней уравнений
  • Векторная алгебра Прямые линии и плоскости
  • Кривые и поверхности, Линейные пространства и преобразования
  • Комплексные числа , Свойства дифференцируемых функций

    •  

    ;