Функции, графики Непрерывность функций и точки разрыва

Упражнения

Упражнение 1.6 Пусть $f(x)=\arcsin x$ , $x\in[-1;1]$ , $g(u)=\cos u$ , $u\in\mathbb{R}$ . Тогда определены композиции $f\circ g$ и $g\circ f$ . Докажите, что при $x\in[-1;1]$ имеет место равенство $(g\circ f)(x)=\sqrt{1-x^2}$ . Выясните также, чему равна функция $f\circ g$ и каков её график.

Упражнение 1.7 Вспомните материал школьного курса математики и постройте графики следующих функций. Найдите области определения и области значений этих функций.
а) $f(x)=\sin 2x$ ;

б) $f(x)=\cos x+3$ ;

в) $f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits (\frac{x}{2})$ ;

г) ;

д) ;

е) $f(x)=\sqrt[5]{x}$ ;

ж) $f(x)=\arcsin x+\frac{\pi}{2}$ ;

з) $f(x)=\arccos x-\frac{\pi}{2}$ ;

и) $f(x)=3^{x-2}$ ;

к) $f(x)=2+\dfrac{1}{x-2}$ ;

л) $f(x)=\log_2(x-1)$ ;

м) $f(x)=2^{3x-1}$ ;

н) $f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x+1)$ .

Ответы:
а) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[-1;1]$ ;
б) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\;\mathcal{E}(f)=[2;4]$ ;
в) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\pi+2k\pi\},\;\mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ ;
г) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[1;+\infty)$ ;
д) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ ;
е) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ ;
ж) $\mathcal{D}(f)=[-1;1],\; \mathcal{E}(f)=[0;\pi]$ ;
з) $\mathcal{D}(f)=[-1;1],\; \mathcal{E}(f)=[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$ ;
и) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(0;+\infty)$ ;
к) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{2\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{2\}$ ;
л) $\mathcal{D}(f)=(1;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ ;
м) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(0;+\infty)$ ;
н) $\mathcal{D}(f)=(-1;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ .

Упражнение 1.8 Найдите области определения и области значений следующих функций:
а) ;
б) $f(x)=\cos2x+3\sin2x$ ;
в) $f(x)=\dfrac{2\mathop{\rm tg}\nolimits x}{1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x}$ ;
г) $f(x)=\dfrac{1-\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x}{2\mathop{\rm tg}\nolimits x}$ ;
д) $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ ;
е) $f(x)=\sin(\arcsin x)$ ;
ж) $f(x)=\arcsin(\sin x)$ ;
з) $f(x)=2^{\log_2x}$ ;
и) $f(x)=(\sqrt{x})^2$ ;
к) $f(x)=\sqrt{x^2}$ ;
л) $f(x)=\sqrt{-x^2}$ ;
м) $f(x)=\sqrt{4-x^2}$ .
Какие из этих функций из области $\mathcal{D}(f)$ в область $\mathcal{E}(f)$ являются биекциями?
Ответы:
Биекциями являются функции пп. е), з), и), л), пpичём все эти четыpе функции-- тождественные отобpажения:
$\displaystyle \mathcal{D}(f)=\mathcal{E}(f); f=f^{-1}=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits : \mathcal{D}(f)\to\mathcal{D}(f)$
пpи соответствующих областях $\mathcal{D}(f)$ . Все остальные функции-- не биекции.
а) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(-\infty;4)$ ;
б) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[-\sqrt{10};\sqrt{10}]$ ;
в) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{2}+k\pi\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ (заметим, что $f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits 2x$ пpи $x\in\mathcal{D}(f)$ .
г) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{k\pi}{2}\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ ;
д) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\},\; \mathcal{E}(f)=(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)$ ;
е) $\mathcal{D}(f)=[-1;1],\; \mathcal{E}(f)=[-1;1]$ ;
ж) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$ ;
з) $\mathcal{D}(f)=(0;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=(0;+\infty)$ ;
и) $\mathcal{D}(f)=[0;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=[0;+\infty)$ ;
к) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[0;+\infty)$ ;
л) $\mathcal{D}(f)=\{0\},\; \mathcal{E}(f)=\{0\}$ ;
м) $\mathcal{D}(f)=[-2;2],\; \mathcal{E}(f)=[0;2]$ .

Упражнение 1.9 Постройте графики функций:
а) $\begin{displaymath}f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x,&\mbox{ при }x<0,\\ -x^2,&\mbox{ при }x\geqslant 0; \end{array} \right.\end{displaymath}$

б) $\begin{displaymath}f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \sqrt[3]{x},&\mbox{ при }x<0,\\ x^3,&\mbox{ при }x\geqslant 0; \end{array} \right.\end{displaymath}$

в) $f(x)=\ln\vert x\vert$ ;

г) $\begin{displaymath}f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \log_2\vert x+1\vert,&\mbox{... ...1\vert,&\mbox{ при }x\geqslant 0,\ x\ne1; \end{array} \right.\end{displaymath}$

д) $\begin{displaymath}f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \log_2\vert x-1\vert,&\mbox{... ...\vert x+1\vert,&\mbox{ при }x\geqslant 0; \end{array} \right.\end{displaymath}$

е) $f(x)=\max\limits_{z\in[x-1;x+1]}(z^3-3z)$ ;

ж) $f(x)=\log_{\vert x\vert}\dfrac{1}{2}$ ;

з) $f(x)=\log_{\frac{1}{x}}x$ ; p class=pic>

и) $f(x)=2^{\vert\log_2x\vert+1}$ .
Найдите области опpеделения и области значений этих функций. Какие из этих функций $f: \mathcal{D}(f)\to\mathcal{E}(f)$ являются биекциями? Если -- биекция, найдите обратную функцию $f^{-1}$ и постройте её график.
Ответы:
Биекцией является только функция п.б), пpи этом $f^{-1}(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^3,&\mbox{ пpи }x<0;\\ \sqrt[3]{x},&\mbox{ пpи }x\geqslant 0. \end{array}\right.$
а) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(-\infty;0]$ ;
б) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ ;
в) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ ;
г) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{-1;1\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ ;
д) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[0;+\infty)$ ;
е) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ ;
ж) $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{-1;0;1\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}$ ;
з) $\mathcal{D}(f)=(0;1)\cup(1;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=\{1\}$ ;
и) $\mathcal{D}(f)=(0;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=[2;+\infty)$ .

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"
Типовой расчет

Функции и их графики Непрерывность функций и точки разрыва

Производные и дифференциалы Пределы Матанализ

Формула Тейлора Матрицы, примеры выполнения заданий

Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Функции и графики, нахождение корней уравнений

Векторная алгебра Прямые линии и плоскости

Кривые и поверхности, Линейные пространства и преобразования

Комплексные числа , Свойства дифференцируемых функций

;