|
|
Векторная алгебра Прямые линии и плоскости Примеры
Смешанное произведение
Определение 10.28 Смешанным произведением векторов a,b,c называется число.
Смешанное произведение будем обозначать abc.
Предложение 10.26 Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители a,b,c компланарны.
Доказательство. По определению
. В силу свойства 8 скалярного произведения (теорема 10.2)
тогда и только тогда, когда векторы a и
ортогональны. Если
, то вектор
ортогонален плоскости векторов b,c, и, следовательно, a лежит в плоскости векторов b,c. Если
, то в силу предложения 10.19 векторы b и c коллинеарны, но тогда векторы a,b,c компланарны.
Следующее предложение показывает геометрический смысл смешанного произведения.
Предложение 10.27 Смешанное произведение abc некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, сторонами которого служат векторы a,b,c, взятому со знаком "", если векторы образуют правую тройку, и со знаком "
", если-- левую.
Доказательство. Пусть
. По предложению 10.22
равен площади
параллелограмма, сторонами которого служат векторы b,c (рис. 10.26, 10.27).
Рис.10.26.Правая тройка
Рис.10.27.Левая тройка
По свойству 7 скалярного произведения (теорема 10.2)
| (10.7) |
Пусть
-- высота параллелепипеда (рис. 10.26, 10.27). Если a,b,c-- правая тройка векторов, то
(рис. 10.26), если a,b,c-- левая тройка, то
. Так как
-- объем параллелепипеда, то из формулы(10.7) получим
в случае правой тройки и
в случае левой тройки сомножителей.
Заметим, что если тройка векторов a,b,c является правой, то тройки c,a,b и b,c,a также будут правыми, а тройки b,a,c, c,b,a и a,c,b будут левыми тройками векторов.
Так как объем параллелепипеда не зависит от того, в каком порядке перечисляются его стороны, то
| (10.8) |
Главы учебника "Высшая математика в примерах и
задачах"
Типовой
расчет
, где z = x
+ iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Примеры решения и офомления задач контрольной работы
по высшей математике