Контрольная работа по сопромату

Контрольная работа по сопромату

ЗАДАЧА № 8

Короткий чугунный брус, поперечное сечение которого показано на рис.32, сжимается силой Р, приложенной в точке А, В или С .

Требуется:

  1) вычислить наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения в его поперечном сечении, выразив их через величину сжимающей силы Р;

  2) из условия прочности бруса найти допускаемую нагрузку Рд, если заданы пределы прочности для чугуна на растяжение sвр и сжатие sвс. Запас прочности принять n = 1,5.

Числовые данные берутся из табл.8, схемы поперечных сечений бруса - по рис.32.

Таблица 8

Числовые данные к задаче № 8

Номер

расч.

Размер, м

Коэффициент

Точка прило-

Предел прочности, МПа

Номер

строки

схемы

по

рис. 32

а

b

жения

силы

1

1

0,10

0,12

0,3

0,8

A

120

500

2

2

0,12

0,10

0,4

0,5

B

380

1400

3

3

0,06

0,14

0,5

0,6

C

380

1400

4

4

0,06

0,16

0,6

0,8

A

280

1000

5

5

0,08

0,10

0,3

0,5

B

280

1000

6

6

0,08

0,16

0,4

0,6

C

120

500

7

7

0,10

0,12

0,5

0,7

A

120

500

8

8

0,10

0,14

0,6

0,8

B

280

1000

9

9

0,12

0,16

0,3

0,6

C

380

1400

0

10

0,12

0,20

0,5

0,5

A

380

1400

з

ж

а

б

в

г

д

д

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ № 8

Основные теоретические сведения и расчетные формулы

Рассматриваемый в задаче брус испытывает так называемое внецентренное сжатие. Под внецентренным сжатием понимается такой случай нагружения бруса, при котором сжимающая сила параллельна его продольной оси, но не проходит через центр тяжести поперечного сечения (рис.33). Координаты точки приложения силы обозначены yp, zp.

Рис. 32. Схемы поперечных сечений бруса

При внецентренном приложении силы в поперечных сечениях бруса возникают три силовых фактора: продольная сила N = P; изгибающие моменты и .

 Нормальные напряжения в произвольной точке с координатами x, y равны алгебраической сумме напряжений от воздействия этих трех силовых факторов

  (8.1)

После несложных преобразований формула для вычисления напряжений при внецентренном сжатии приводится к виду

  , (8.2)

где 

  Р - сила, сжимающая брус;

 F - площадь поперечного сечения бруса;

 Jy, Jz - главные центральные моменты инерции поперечного сечения;

 yp, zp - координаты точки приложения силы;

 y , z - координаты точки поперечного сечения, в которой вычисляются напряжения;

  iy и iz - главные центральные радиусы инерции поперечного сечения.

Координаты yp, zp и y,z в формулу для вычисления напряжений подставляются с учетом их знаков в заранее выбранной системе координат.

При внецентренном сжатии можно приложить внешнюю силу таким образом, что в поперечном сечении бруса возникнут не только сжимающие, но и растягивающие напряжения. Границей между частью сечения, в которой волокна бруса растянуты, и той частью, где они сжаты, является прямая  линия, напряжения в точках которой равны нулю.

Рис. 33. Внецентренное сжатие бруса

Эта прямая линия называется нулевой, или нейтральной линией. Уравнение нулевой линии имеет вид

  (8.3) 

Очевидно, что нейтральная линия не проходит через центр тяжести поперечного сечения. Для ее построения необходимо знать величину отрезков, которые она отсекает на осях координат. Их величина определяется по формулам

  (8.4)

где  и  -отрезки, отсекаемые нейтральной линией соответственно на осях

 координат Y, Z;

  Главные центральные радиусы инерции сечения iy и iz определяются по формулам

  . (8.5)

При внецентренном сжатии опасными являются точки, наиболее удаленные от нулевой линии. Если пределы прочности материала на растяжение и сжатие различны, условия прочности записываются отдельно для опасных точек в растянутой и сжатой зонах:

   (8.6) 

где y*, z* - координаты точки, наиболее удаленной от нулевой линии в
растянутой зоне;

  y**, z** - то же в сжатой зоне.

Координаты точек  определяются по чертежу с учетом их знаков, а величина сжимающей силы подставляется в формулы со знаком минус.

 

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ № 8

Короткий чугунный брус с заданным поперечным сечением (рис.34) сжимается силой Р, приложенной в точке D. Определить из условия прочности бруса допускаемое значение силы Рд .

Числовые данные к задаче: a = 0,08 м; b = 0,12 м; a = 0,5; пределы прочности чугуна при растяжении sвр = 280 МПа, при сжатии sвс= 1000 МПа; запас прочности  принять n = 1,5.

1.Определение геометрических характеристик поперечного сечения.

Заданное сечение (рис.34) рассматриваем как сложное, состоящее из двух прямоугольников: большого сплошного со сторонами a и b и прямоугольного отверстия со сторонами 0,5 a и 0,6 b.

  За исходные координатные оси принимаем оси к z1 и y. На рис.34 в этой системе координат показаны положения центров тяжести прямоугольников (точки С1 и С2) и их главные центральные оси y1,,z1, y2, z2. Центр тяжести всего сечения обозначен через O. Он располагается на оси симметрии у, поэтому вычисляется только одна его координата уC :

где F1 и F2 - площади большого прямоугольника и отверстия;

 y1 и y2 - координаты их центров тяжести.

Подсчитываем геометрические характеристики поперечного сечения бруса.

Площади составляющих фигур

 Рис. 34. Поперечное сечение бруса

Площадь сечения всей фигуры:

  

 

Абсциссы центров тяжести составляющих фигур:

y1 = 0; y2 = 2,4 см.

Абсцисса центра тяжести всей фигуры:

Центр тяжести сечения лежит на оси Y (точка О) слева от точки С1 на расстоянии yс. Главные центральные оси сечения - Y, Z.

Главные центральные моменты инерции составного сечения относительно осей Y, Z вычисляются с помощью зависимостей между моментами инерции относительно параллельных осей, одна из которых центральная:

Моменты инерции прямоугольников относительно собственных главных центральных осей равны

Расстояния между главными центральными осями Y, Z и собственными главными центральными осями составляющих фигур определяются по чертежу.

Расстояние между главной центральной осью Y и осями y1,y2:

 a1 = а2 = 0, так как главные центральные оси у1 и y2 составляющих фигур совпадают с главной центральной осью Y сечения; 

расстояния между главной центральной осью Z и осями z1, z2:

 b1 = 1,03 см,

b2 = 1,03 + 2,4 =3,43 см .

Подставив найденные величины в формулы для вычисления главных центральных моментов инерции и учитывая, что осевой момент инерции отверстия условно считается отрицательным, получаем

Квадраты главных центральных радиусов инерции

2.Определение положения нулевой линии.

По условию задачи сила Р приложена в точке D, координаты которой в системе главных центральных осей Y, Z определяются по рис. 34:

Отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат Y, Z:

На осях координат Y, Z откладываются в масштабе величины найденных отрезков и проводится нулевая линия.

3. Вычисление максимальных нормальных напряжений в поперечном сечении бруса.

Максимальные напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нулевой линии. В рассматриваемой задаче это точки D и E. В точке D напряжения сжимающие, в точке E - растягивающие.

Координаты опасных точек находятся по рис. 34:

 

Максимальные растягивающие и сжимающие напряжения выражаются через внешнюю нагрузку;

Допускаемая нагрузка Рдоп определяется из условий прочности бруса по растягивающим и сжимающим напряжениям.

Допускаемые напряжения определяются по исходным данным для растяжения и для сжатия хрупкого материала, в рассматриваемом случае чугуна:

Из условия прочности материала бруса на растяжение  определяется величина допускаемой нагрузки

, откуда

Из условия прочности на сжатие

 и 

В качестве допускаемой нагрузки принимается меньшая из двух полученных, что обеспечивает прочность бруса как по растягивающим, так и по сжимающим напряжениям, то есть


Решение задач Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов