Контрольная работа по сопромату

Контрольная работа по сопромату

ЗАДАЧА № 7

Для заданной статически неопределимой балки требуется:

1) раскрыть статическую неопределимость;

2) построить эпюру изгибающих моментов;

3) подобрать двутавровое сечение по условию прочности балки;

4) определить угол поворота сечения L и прогиб в сечении К.

Для всех вариантов принять: допускаемое напряжение [s] = 160 МПа, модуль упругости .

Числовые данные берутся из табл.7, расчетные схемы - по рис.28.

Таблица 7

Числовые данные к задаче № 7

Номер

Номер

расч.

Нагрузка

строки

схемы

по

рис.28

q,

кН/м

P,

кН

P1,

кН

m,

кН×м

Размер

a, м

1

1

5

10

10

4

1,0

2

2

4

8

5

6

1,5

3

3

8

6

8

4

1,0

4

4

10

8

12

2

0,8

5

5

12

5

7

5

1,2

6

6

6

7

10

7

1,0

7

7

5

10

6

3

1,2

8

8

10

11

9

4

0,8

9

9

8

8

7

5

0,6

0

10

7

5

10

6

1,0

ж

З

а

б

в

Г

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ № 7

Основные теоретические сведения и расчетные формулы

1. Определение перемещений методом Мора. Вычисление интеграла Мора методом перемножения эпюр

Расчет статически неопределимых конструкций требует вычисления перемещений их сечений.

Универсальным способом определения перемещений является энергетический. В применении к балкам и плоским рамам этот метод приводится

Рис. 28. Расчетные схемы

статически неопределимых балок к задаче № 7

к вычислению интеграла Мора:

 , (7.1) 

где D - искомое перемещение (линейное перемещение или угол поворота);

 li - длина участка балки или рамы;

 EiJi - изгибная жесткость этого участка;

  Мpi - изгибающий момент от внешней нагрузки в произвольном сечении на участке li;

  - изгибающий момент от единичной нагрузки в том же сечении;

  n - число участков li , на которые разбивается данная балка или рама.

Для определения перемещения по формуле Мора необходимо:

1) рассмотреть так называемое грузовое (заданное) состояние конструкции, записав выражения для вычисления внутренних усилий, действующих в произвольно выбранном поперечном сечении каждого стержня от действия внешних нагрузок;

2) рассмотреть единичное состояние, для чего снять с конструкции все действующие на нее нагрузки и приложить в сечении, перемещение которого определяется, по заданному направлению единичную силу (при определении линейного перемещения) или единичный момент ( при вычислении углового перемещения);

3) записать выражения для изгибающих моментов, действующих в произвольно выбранном поперечном сечении каждого стержня от единичной нагрузки;

4) составить интеграл Мора и после интегрирования по участкам всей конструкции вычислить искомое перемещение.

Если искомое перемещение получилось отрицательным, то это означает, что действительное перемещение противоположно принятому направлению единичной нагрузки.

Интеграл Мора можно вычислять графоаналитически, если предварительно построены эпюры моментов от заданной и единичной нагрузок.

Расчетная формула в этом случае имеет вид

 

   (7.2)

где  - площадь эпюры Мpi от заданной нагрузки на участке li;

  - ордината эпюры от единичной нагрузки, расположенная под
центром тяжести эпюры Мpi на участке li.

Этот способ вычисления интеграла Мора называется «перемножением эпюр», или правилом Верещагина.

  Метод перемножения эпюр применим для определения перемещений в конструкциях, состоящих из прямолинейных элементов, жесткость которых в пределах отдельных ее участков постоянна.

Для определения перемещений по Верещагину необходимо:

1) построить эпюры внутренних силовых факторов от действия внешних сил, при изгибе - эпюру изгибающих моментов;

2) построить эпюры внутренних силовых факторов от действия единичной силы (момента), приложенной в сечении, перемещение которого определяется, по заданному направлению (при изгибе - единичную эпюру изгибающих моментов);

3) вычислить искомое перемещение для каждого участка путем умножения площади нелинейной эпюры на ординату линейной эпюры, взятую под центром тяжести нелинейной, и деления результата на жесткость рассматриваемого участка.

Ординаты  на эпюре вычисляются из подобия соответствующих треугольников ( рис.29).

В тех случаях, когда обе эпюры прямолинейны, можно умножать площадь любой из них на ординату другой под центром тяжести первой.

Если эпюра от внешней нагрузки имеет сложный вид, то рекомендуется ее представить в таком виде, чтобы вычисление ее площади и положения центра тяжести было наиболее простым.

 Произведение  отрицательно, если эпюры от внешних нагрузок и единичной силы (момента) противоположны по знаку, т.е. расположены по разные стороны от оси стержня. Это означает, что направление перемещения противоположно направлению единичной силы (момента).

2. Статически неопределимые балки. Метод сил

Балка называется статически неопределимой, если внутренние силовые факторы в ее поперечном сечении не могут быть определены только из уравнений статики. Статическая неопределимость обусловлена наличием лишних связей, то есть таких связей, которые не являются необходимыми для обеспечения геометрической неизменяемости конструкции. В балках лишними связями служат дополнительные опоры.

 Разность между числом опорных реакций балки и числом возможных уравнений статики называется ее степенью статической неопределимости, или числом "лишних" неизвестных.

Одним из методов, используемых для расчета статически неопределимых систем, является метод сил.

Расчет начинается с выбора так называемой основной системы рассматриваемой конструкции. Статически определимая система, получаемая из заданной отбрасыванием лишних связей, называется основной системой. Как правило, для заданной конструкции можно предложить несколько вариантов основных систем, из которых для дальнейшего расчета выбирается один. При расчете статически неопределимой балки удобно удалять внутреннюю связь, помещая шарнир на промежуточной опоре или в жесткой заделке (рис.30). В этом случае лишней неизвестной будет опорный момент.

Рис. 29. Пример применения правила Верещагина

Рис. 30. Схемы статически неопределимых балок (а) и соответствующие им основные системы (б)

Если основную систему загрузить заданными нагрузками и реакциями отброшенных связей, получим эквивалентную систему, которая при определенных величинах этих реакций деформируется так же, как заданная конструкция. Реакции Хi отброшенных связей определяется из очевидного условия: перемещения по направлениям Хi в эквивалентной системе должны равняться нулю. Для конструкции с одной лишней связью это условие записывается в виде одного канонического уравнения метода сил:

 

  (7.3)

где d11 - перемещение в основной системе по направлению X1 от действия
единичной силы  или единичного момента ;

 D1p - перемещение в основной системе по направлению X1 от действия
внешних нагрузок.

Для вычисления d11 и D1p необходимо предварительно построить эпюры изгибающих моментов:  - от единичной силы (момента)  и Мp - от внешних нагрузок. Коэффициент d11 при X1 вычисляется умножением эпюры  на эту же эпюру, а D1p  - перемножением эпюр Mp и . Символически это можно записать так:

  d11 = (); D1p = (Мp). (7.4)

Определением реакции Хi из канонического уравнения заканчивается раскрытие статической неопределимости балки с одной лишней связью. Остальные опорные реакции вычисляются из уравнений равновесия, считая теперь Хi известной величиной.

Перемещения в статически неопределимой системе после раскрытия ее неопределимости находятся непосредственным вычислением интеграла Мора, либо перемножением эпюр.

Для вычисления прогиба в каком - либо сечении балки следует по направлению искомого перемещения к основной системе приложить единичную силу  (при вычислении угла поворота - единичный момент ) и построить эпюру изгибающих моментов  от действия этой единичной нагрузки. Искомое перемещение вычисляется путем перемножения окончательной эпюры изгибающих моментов M на вновь построенную эпюру .

 

 

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ №7

Для статически неопределимой балки (рис.31, а) требуется:

 1) раскрыть ее статическую неопределимость;

 2) построить эпюру изгибающих моментов от действия внешних (пролетных) нагрузок;

3) подобрать двутавровое сечение балки из условия ее прочности;

определить угол поворота сечения L и прогиб балки в сечении К.

Числовые данные к задаче:

 q = 6 кН/м; m = 4 кН×м; а = 1,2 м; [s] = 160 МПа; .

1.Вычисляем степень статической неопределимости балки.

По условиям закрепления имеем четыре опорных реакции: две на опоре А и по одной на опорах В и С. Для плоской системы сил можно составить только три уравнения равновесия, поэтому степень статической неопределимости балки n = 4‑3 = 1, т.е. система один раз статически неопределима.

2.Выбираем основную систему. Для этого разрезаем балку над средней опорой, тем самым, устраняя лишнюю связь, и вставляем над опорой промежуточный шарнир. «Лишней» неизвестной в этом случае будет изгибающий момент в опоре В, который обозначаем Х1. На рис.31,б показана основная система. Загружая основную систему пролетными нагрузками и лишней неизвестной, получаем эквивалентную систему (рис.31,в). Достоинство принятой основной системы в том, что каждый пролет работает как самостоятельная балка и при построении эпюр может рассматриваться отдельно.

3. Строим в основной системе эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузки Mp.

  Рассмотрим участок АВ. Так как на этом участке нагрузок нет, для построения эпюры  достаточно знать величины изгибающих моментов в сечениях А и В. На опоре А по условию М = m = 4 кН×м; на опоре В изгибающий момент равен нулю (опорный момент Х1 не учитываем), эпюра моментов ограничена прямой линией.

2.93

 

Рис. 31. Статически неопределимая балка:

а - заданная система; б - основная система;

в - эквивалентная система; г - грузовая эпюра Mp;

д - единичная эпюра ; е - эпюра ;

ж - окончательная эпюра M; з - эпюра от единичного момента ;

и - эпюра от единичной силы

Рассмотрим участок ВС.

Вследствие симметрии пролетной нагрузки реакции опор будут одинаковыми:

.

Изгибающий момент в произвольном сечении x

и эпюра изгибающего момента ограничена квадратной параболой.

Строим эту параболу по трем лежащим на ней точкам:

Эпюра Мp показана на рис.31, г.

4.Строим эпюру  от единичного момента .

 В сечениях А и С изгибающие моменты равны нулю, а в сечении В изгибающий момент равен единице. Эпюра  линейна, ее вид показан на рис.31, д.

5.Составляем каноническое уравнение метода сил

и вычисляем коэффициент  при неизвестном. Для этого эпюра  умножается сама на себя. Чтобы упростить вычисления,  разбиваем эпюру на два треугольника ADB и BDC и площадь каждого из них умножаем на ординату, расположенную в центре тяжести каждого из них (рис.31, д):

После подстановки числовых значений имеем

.

Для определения D1р перемножаем эпюры МP и  (рис.31, г, д) Площадь параболического сегмента вычисляется по формуле

где q - интенсивность распределенной нагрузки;

 l - длина участка балки под нагрузкой.

Вычисляем свободный член канонического уравнения D1р:

Произведя соответствующие вычисления, получаем

Тогда каноническое уравнение принимает вид

откуда находим

.

Отрицательное значение X1 говорит о том, что следует изменить направление момента X1 на обратное.

6. Строим эпюру изгибающих моментов.

Считая момент X1 внешней нагрузкой, можно определить опорные реакции, рассматривая каждый пролет балки отдельно, а затем построить эпюру моментов обычным способом, как это выполнялось для статически определимой балки. В данном случае удобнее воспользоваться уже построенными эпюрами.

Эквивалентная система находится под действием заданных пролетных нагрузок и вычисленного момента X1. Следовательно, окончательная эпюра изгибающих моментов может быть представлена суммой двух эпюр

Первая эпюра уже построена (рис.31,г), а вторая получается умножением ординат эпюры  (рис.31,д) на вычисленное значение X1. Эпюра  показана на рис.31,е. Геометрически складываем эпюры Мp и  (рис.31,г,е), суммируя ординаты эпюр в характерных точках:

По найденным значениям М строим окончательно эпюру изгибающих моментов (рис.31, ж).

Для проверки правильности расчетов и построения эпюры изгибающих моментов можно использовать условие равенства нулю угла поворота смежных сечений балки над средней опорой (перемещение по направлению отброшенной связи). Этот угол вычисляется перемножением окончательной эпюры моментов (рис.31, ж) на эпюру  (рис.31,д). При перемножении эпюру М удобно представить в виде трех треугольников, показанных пунктирными линиями на рис.31, ж, и параболического сегмента.

Угол поворота смежных сечений балки над средней опорой вычислим методом перемножения эпюр:

.

Площади эпюр и соответствующие ординаты под их центрами тяжести

определяются по соответствующим эпюрам (рис.31, ж) и (рис.31,д).

Итак,

Полученный результат свидетельствует о том, что эпюра изгибающих моментов построена правильно. Небольшая погрешность, не превышающая 5 % , возникла в результате округлений.

7. Подбираем сечение балки по условию прочности.

При изгибе условие прочности имеет вид

По эпюре М (рис.31, ж) находим максимальный момент = 4 кН×м, а по условию задачи [s] = 160 МПа. Подставляя эти числа в последнюю формулу, получим величину требуемого момента сопротивления двутавра:

По таблицам сортамента прокатной стали подбираем номер двутавра и выписываем его геометрические характеристики:

двутавр №10, Wx= 39,7 cм3, Jx = 198 см4.

(Момент сопротивления подобранного двутавра больше требуемого расчетного, но меньшего размера в таблице нет, поэтому принимаем двутавр №10).

8. Определяем перемещения.

Определяем угол поворота сечения L.

 Для этого приложим в сечении L основной системы единичный момент  и построим эпюру моментов  (рис.31,з). Угол поворота сечения L вычисляем, перемножая эпюры М и  (рис.31, ж,з):

;

Определяем прогиб в сечении К.

 Приложим в сечении К основной системы единичную силу  и построим от нее эпюру моментов  (рис.31, и). Так как сила  приложена в середине пролета AB, опорные реакции будут равны:

RA = RB = 0,5.

Определяем моменты в характерных точках участка АВ:

MA = 0; МK = 0,5 = 0,9 м; MB = 0.

Прогиб в сечении К вычисляется перемножением эпюр М и  (рис.31,ж,и). Площадь при этом берем с эпюры М, а соответствующая ордината на эпюре равна величине средней линии трапеции, то есть алгебраической полусумме ее оснований:

Результат получен со знаком плюс, прогиб направлен в сторону приложенной единичной силы, то есть вниз.


Решение задач Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов