На сайте вулкан вип клуб вы тут же попадаете в яркий мир азарта! Контрольная работа по сопромату

Контрольная работа по сопромату

ЗАДАЧА № 6

Для двух заданных плоских рам построить эпюры изгибающих моментов. Схемы рам и числовые данные для решения задачи выбираются из табл.6 и по рис.25.

Таблица 6

  Числовые данные к задаче № 6

Номер

строки

Номер

расч.

схемы

Сила, кН

Момент, кН×м

Размер

а, м

(рис.25)

1

1

10

12

6

4

6

2

2

2

8

4

1

5

5

1

3

3

2

4

2

6

4

2

4

4

10

6

4

2

8

2

5

5

6

4

4

4

6

2

6

6

8

6

6

6

4

1

7

7

2

2

6

5

2

2

8

8

2

5

4

2

8

2

9

9

5

10

2

4

4

2

0

10

2

4

4

5

4

1

з

ж

а

б

в

г

д

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ № 6

Основные теоретические сведения и расчетные формулы

Рамой называется стержневая система, составные части которой во всех или некоторых узлах жестко связаны между собой. В плоской раме оси ее элементов лежат в одной плоскости, совпадающей с плоскостью приложения внешних нагрузок. Ось рамы представляет собой ломаную линию, каждый прямолинейный участок которой рассматривается как балка. Дифференциальные зависимости между Q, Mz, q, полученные для балки, и выводы, вытекающие из этих зависимостей, справедливы и для отдельных элементов рамы. Внутренние усилия, возникающие в поперечном сечении стержня плоской рамы, в общем случае приводятся к трем силовым факторам: продольной силе N, поперечной силе Q, изгибающему моменту M.

Основные принципы построения эпюр Q, M, N для плоских рам те же, что и для балок. Дополнительно отметим, что границами участков также являются сечения, в которых соединяются стержни (узлы рамы). Если рама

Рис. 25. Расчетные схемы рам к задаче № 6

имеет более одной опоры, следует до построения эпюр, найти опорные реакции, которые в дальнейшем рассматриваются как внешние нагрузки. Аналитические зависимости для Q(x), M(x), N(x) обычно не записываются. Внутренние усилия вычисляются на границах участков и в характерных точках, т.е. там, где изгибающий момент экстремален.

Ординаты эпюр откладываются перпендикулярно оси рамы, при этом эпюра M строится со стороны сжатого волокна стержня.

 

 

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ №6

Для заданной рамы (рис. 26,a) построить эпюру изгибающих моментов при следующих исходных данных: P1=2P, P2=P, M2=Pa.

Рис. 26 Расчетная схема рамы и эпюра изгибающих моментов

Определяем опорные реакции рамы. На расчетной схеме (рис.26, a) показываем векторы опорных реакций RA и HA шарнирно-неподвижной опоры и вектор RB на шарнирно-подвижной опоре B. Величины реакций определяются из уравнений равновесия рамы:

 

 

 

 

Реакция RА отрицательна, а это значит, что ее направление было выбрано неправильно и его надо изменить на противоположное. В дальнейших расчетах знак минус не учитывается.

Для проверки правильности вычисления опорных реакций подсчитывается сумма проекций сил, приложенных к раме, на вертикальную ось Y:

Равенство этой суммы нулю говорит о том, что реакции определены правильно.

Разбиваем раму на участки, границы которых на рис.26,а обозначены латинскими буквами. В граничных сечениях каждого участка находим величины изгибающих моментов и откладываем полученные значения со стороны сжатого волокна (для удобства построений введем обозначение m=Pa).

С целью вычисления изгибающего момента рассекаем мысленно раму в исследуемом сечении на две части и отбрасываем одну из них, а затем подсчитываем алгебраическую сумму моментов всех сил, приложенных к оставшейся части, относительно рассматриваемого сечения. Эта сумма равна величине изгибающего момента в данном сечении рамы.

Рассмотрим последовательно стержни рамы, начиная со стержня AC, который имеет лишь один участок. Мысленно рассекая стержень в начале участка (левее точки A) и отбрасывая левую часть рамы, вычисляем изгибающий момент в начале участка:

 (сжатые волокна при этом будут находиться снизу).

В конце участка (точка C) величина изгибающего момента равна алгебраической сумме моментов от действия пары сил m2 и реакции RA. Пара сил изгибает стержень AC таким образом, что его сжатые волокна располагаются снизу. Будем считать условно изгибающий момент в сечении С, возникающий от действия пары сил, положительным. Тогда изгибающий момент в том же сечении от действия реакции RA следует считать положительным, так как эта сила так же, как и пара сил m2, вызывает сжатие нижних волокон стержня.

Изгибающий момент в сечении С

.

Положительное значение изгибающего момента означает, что сжатые волокна стержня в сечении С по-прежнему остаются снизу. Откладывая в масштабе полученные значения изгибающих моментов перпендикулярно оси стержня AC вниз (со стороны сжатых волокон), строим на этом участке эпюру M, которая будет ограничена прямой линией, так как к раме не приложены распределенные нагрузки.

Переходим к следующему стержню - CE, который разбиваем на два участка - CD и DE.

Участок CD. Изгибающий момент в сечении C, которое принадлежит одновременно стержням AC и CE известен: MC =3Pa.

 Сжатые волокна стержня CE в сечении C находится слева от его оси, следовательно, момент MC = 3Pa надо отложить влево. Изгибающий момент в сечении D

Положительное значение изгибающего момента  означает, что сжатые волокна стержня, как и в сечении C, расположены слева.

Участок DE. Изгибающий момент в сечении D, которое принадлежит теперь рассматриваемому участку DE, MD = 5Pa. Находим изгибающий момент в сечении E:

.

Перед моментом от силы P1 поставлен знак минус, так как сила P1 сжимает волокна, располагающиеся справа от оси стержня. Положительное значение момента ME = 5Pa означает, что сжатые волокна в сечении располагается слева.

Откладывая ординаты эпюры перпендикулярно оси стержня, как это делалось ранее, строим эпюру на участке DE.

Построение эпюры изгибающих моментов для стержня BE удобно производить, перемещаясь от сечения B справа налево.

Стержень BE. Разбиваем его на два участка: BF и FE. Изгибающий момент в сечении B равен нулю. В сечении F участка BF стержня изгибающий момент равен моменту от действия силы RB = 3P, его величина

  (сжатые волокна находится сверху).

Участок FE. Изгибающий момент в сечении F, принадлежащем этому участку, известен: M=3Pa. В конце участка (сечение E) изгибающий момент 

Первое слагаемое, представляющее момент от действия силы, вызывающей сжатие верхних волокон стержня, принято положительным. Перед вторым слагаемым поставлен знак минус, так как сжатые волокна от действия силы  расположены снизу. Положительное значение изгибающего момента в сечении E означает, что сжатые волокна стержня в этом сечении находятся сверху от его оси. Вычисленные ординаты откладываются на эпюре вверх от оси стержня - со стороны сжатых волокон (рис.26, б).

Следует обратить внимание на то, что при переходе через узел изгибающий момент по модулю не изменяется и эпюра располагается по одну сторону от контура рамы (внутри или снаружи). Это условие соблюдается, если в узле рамы не приложен сосредоточенный момент (пара сил).

Рассмотрим еще один пример построения эпюры M для рамы.

Требуется построить эпюру изгибающих моментов для рамы, показанной на рис.27, a.

 Исходные данные для расчета: P1 = 2P; P2 = 3P; m1 = 2Pa.

Для рамы, жестко защемленной одним концом, построение эпюры изгибающих моментов рекомендуется начинать с незакрепленного сечения (сечение A на рис.27, а), не определяя опорных реакций.

Стержень AB (рис.27,а) имеет один участок, в начале и конце которого вычисляются изгибающие моменты:

  MA = 0, MB =  = 2Pa .

Откладываем найденные значения слева от оси стержня со стороны его сжатых волокон (рис.27, б) и соединяем полученные точки прямой линией (равномерно распределенной нагрузки нет!).

Рис. 27. Расчетная схема рамы и эпюра изгибающих моментов

Стержень BD имеет два участка - BC и СD. Вычисляются изгибающие моменты в сечениях B, C, D.

В сечении В изгибающий момент MB = 2Pa, так как при переходе через узел величина изгибающего момента не изменяется, сжатые волокна стержня располагаются снизу.

В сечениях С и D изгибающие моменты

 В последнем выражении момент, зависящий от силы P1, условно принят положительным. При этом сжатые волокна стержня BD располагается снизу от его оси. Момент от силы P2 в этом случае отрицателен, так как от действия силы P2 волокна, расположенные снизу, растягиваются. Отрицательное значение изгибающего момента в сечении D, означает, что сжатое волокно теперь располагается теперь не снизу, а сверху от оси стержня. Очевидно, что эпюра М на участке BD ограничена прямыми линиями.

Стержень DE имеет только один участок, в начале которого (сечение D) приложена пара сил с моментом 2Pa. Изгибающий момент в сечении D стержня DE

 

Найденное значение откладываем справа от оси стержня DE, так как от действия силы P1 сжатые волокна расположены справа, и перед первым слагаемым в выражении для вычисления изгибающего момента поставлен знак плюс, что означает сжатие волокон справа от действия всех внешних сил, приложенных к раме.

Изгибающий момент в сечении E

 

Здесь знак (плюс или минус) перед каждым слагаемым выбран в соответствии с введенным ранее правилом.

По найденным значениям изгибающих моментов для стержня DE построена эпюра М, ограниченная прямой линией.

Эпюра изгибающих моментов для всей рамы показана на рис.27,б. Здесь, как и раньше, использовано обозначение m=Pa.


Решение задач Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов