Контрольная работа по сопромату

Контрольная работа по сопромату

ЗАДАЧА4

Для двух заданных сечений, состоящих из нескольких элементов или имеющих вырезы, определить положение главных центральных осей инерции и вычислить величины моментов инерции относительно этих осей.

Первое сечение для расчета выбирается по рис.8, второе - по рис.9. Размеры элементов сечений и номера прокатных профилей берутся из табл.4. При расчете сечения, состоящего из прокатных профилей, уголок следует принимать в соответствии с заданными размерами; он может быть равнобоким или неравнобоким.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ № 4

Основные теоретические сведения и расчетные формулы

Рассматриваемая задача относится к разделу "Геометрические характеристики плоских фигур".

При расчете на изгиб, кручение и другие виды более сложного нагружения для оценки прочности и жесткости бруса недостаточно знать только площадь его поперечного сечения, требуется определять другие геометрические характеристики сечения: статический момент площади, осевые, центробежный и полярный моменты инерции.

  Таблица 4

Числовые данные к задаче № 4

Номер

Номер

расчет.

схемы

Размер

Прокатный профиль

строки

(рис. 8,9)

а, см

полоса

швеллер

двутавр

уголок

1

1

10

160´10

10

12

75´75´8

2

2

20

180´10

12

14

75´50´6

3

3

12

180´6

14

10

90´90´6

4

4

14

200´10

14а

16

80´50´6

5

5

22

200´6

16

12

80´80´8

6

6

15

160´8

16а

18

70´45´5

7

7

18

210´8

14

14

75´75´6

8

8

16

220´10

12

16

80´50´6

9

9

20

220´8

14а

10

70´70´6

0

10

25

180´8

10

12

63´40´6

з

ж

а

б

в

г

Рис. 8. Расчетные схемы к задаче № 4 (для первого сечения)

Рис. 9. Расчетные схемы к задаче № 4 (для второго сечения)

O

 

Рассмотрим произвольную плоскую фигуру площадью F, отнесенную к системе координат zoy (рис. 10).

Обозначим: dF - площадь элементар-ной площадки; y, z - расстояние ее центра тяжести до осей координат.

Выражения вида 

 (4.1)

 называются статическими моментами площади относительно осей y и z соответственно.

Рис. 10. Плоская фигура

Зная величины статических моментов площади фигуры, можно вычислить координаты ее центра тяжести. Если заданное сечение можно разбить на части, для которых известны положения их центров

тяжести и величины площадей, координаты центра тяжести всей фигуры определяются по формулам

 (4.2)

где n - число элементов, на которое разбивается сечение;

  - площади отдельных элементов сечения;

  - координаты центров тяжести этих элементов в выбранной системе

 координат y, z.

Центр тяжести лежит на оси симметрии сечения, а если таких осей несколько - в точке их пересечения.

Моментами инерции (осевыми моментами инерции) относительно осей y и z соответственно называются интегралы вида

 (4.3)

Для простейших фигур и прокатных профилей величины моментов инерции приводятся в учебной и справочной литературе.

Выражение

   (4.4)

называется центробежным моментом инерции. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями. Если хотя бы одна из выбранных координатных осей является осью симметрии, то обе эти оси будут главными. Осевые моменты инерции относительно главных центральных осей называются главными центральными моментами инерции. Они являются экстремальными по величине: один из них максимален, другой минимален.

Осевой момент инерции составного сечения вычисляется как сумма осевых моментов инерции отдельных составляющих фигур относительно одной и той же оси. При этом необходимо помнить, что в таблицах сортамента прокатных профилей моменты инерции простых элементов определены относительно их собственных центральных осей, которые показываются на чертежах. Центральные оси составной фигуры обычно не совпадают с табличными, и для вычисления моментов инерции подобных фигур приходится использовать зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей:

  (4.5)

где  - моменты инерции сечения относительно произвольных осей;

 - моменты инерции сечения относительно центральных осей;

  F - площадь фигуры ;

 а и в - расстояние между осями   и  соответственно.

 

 

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ №4

Задано сечение, составленное из прокатных профилей: швеллера № 16а и двух неравнобоких уголков 80´50´6 (рис. 11). Требуется вычислить главные центральные моменты инерции.

I

 

II

 

Рис. 11. Расчетная схема первого сечения

Из таблиц сортамента выписываются геометрические характеристики

прокатных профилей, составляющих заданное сечение.

Швеллер №16а:размеры h =160 мм, b = 68 мм, площадь сечения ; осевые моменты инерции  координата центра тяжести .

Неравнобокий уголок : площадь сечения  осевые моменты инерции  координаты центра тяжести .

Примечание. Если в состав сечения входит прямоугольник, то для него по формулам (4.6) следует вычислить площадь и осевые моменты инерции 

  (4.6)

В соответствии с заданным вариантом сечения выполняется чертеж в масштабе 1:2 с указанием характерных размеров.

На чертеж наносятся центры тяжести швеллера и уголка  и проводятся их собственные центральные оси  и  (см. рис. 11).

 2. Определение положения центра тяжести заданного сечения.

Заданное сечение имеет одну ось симметрии, которая является главной центральной осью. Выбираем исходную систему координат: ось абсцисс y / совмещаем c нижней границей сечения, а ось ординат Z - с осью симметрии. Координаты точек и легко определяются по чертежу.

Используя формулу (4.2) и учитывая симметрию сечения, вычисляем ординату его центра тяжести по формуле

где F1 - площадь швеллера, ,

  - ордината точки , ;

  - площадь одного уголка, 2;

 - ордината точки -, .

После подстановки числовых значений получаем

Откладывая найденное значение  на оси Z вверх от оси y/, находим положение центра тяжести всего сечения C и проводим главные центральные оси Y , Z.

Примечание. Если фигура имеет две оси симметрии, центр тяжести лежит на их пересечении, то вычислений для определения его положения производить не нужно.

Вычисление главных центральных моментов инерции сечения относительно осей Y и Z .

Расстояния между осями определяются по чертежу:

 так как оси Z и  совпадают;

Главные центральные моменты инерции составного сечения  и  вычисляются по формулам (4.5):

 (4.7)

После подстановки числовых значений в формулы (4.7),получаем:

 

ВТОРОЙ ВАРИАНТ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ №4

Задано сечение (рис. 12). Размеры сечения заданы в сантиметрах.

 


 Рис. 12. Расчетная схема второго сечения

Требуется определить главные центральные моменты инерции этого сечения.

1. Заданное сечение вычерчивается в масштабе 1:2 и разбивается на простейшие фигуры: квадрат (1), прямоугольник (2) и круговое отверстие (3). На чертеже показываются центры тяжести составляющих фигур (точки  и ) и проводятся их главные центральные оси ;  и  (см. рис. 12). Площади и моменты инерции составляющих фигур относительно их центральных осей вычисляются по известным формулам.

Для квадрата

;

Для прямоугольника

 

Для круга

 

Определение положения центра тяжести составного сечения.

Центр тяжести составной фигуры лежит на ее оси симметрии Y. Вспомогательная ось z/ совмещается с левой границей сечения. Координата центра тяжести всего сечения  в системе Yoz/ определяется по формуле (4.2):

 

По чертежу определяются абсциссы точек  и :

 

 

Площадь круга подставляется в формулу (4.2) со знаком минус, так как площадь отверстия принято считать отрицательной величиной.

Подставляя числовые значения, получаем

 

Откладывая на оси Y отрезок ОС =19,5 см, находим точку С - центр тяжести составного сечения и проводим главную центральную ось Z, параллельную оси z / (см. рис.12).

3. Вычисление моментов инерции относительно главных центральных осей Y, Z.

Используем формулы (4.5), как и в предыдущем примере. Перед последним слагаемым в скобках ставится знак минус, так как моменты инерции отверстия считаются отрицательными:

 (4.8)

Моменты инерции составляющих фигур относительно собственных главных центральных осей вычислены ранее. Оси  и  совпадают с главной центральной осью Y всей фигуры, поэтому расстояния между этими осями и осью Y равны нулю:

По чертежу находим расстояние между осями Z и

 см.

и расстояние между осями Z и

 см.

Подставляя числовые значения в (4.8), вычисляем главные центральные моменты инерции составного сечения:

.


Экологические проблемы производства энергии
Решение задач Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов