Контрольная работа по сопромату

Контрольная работа по сопромату

ЗАДАЧА № 3

К стальному брусу круглого поперечного сечения приложены четыре крутящих момента , три из которых известны.

  Требуется:

1) установить, при каком значении момента Х угол поворота правого концевого сечения равен нулю;

2) при найденном значении Х построить эпюру крутящих моментов;

3) при заданном значении допускаемого напряжения [t] определить диаметр вала из условия его прочности и округлить величину диаметра до ближайшей большей стандартной величины, равной 30, 35, 40, 45, 50, 60, 80, 90, 100 мм;

 4) проверить, выполняется ли условие жесткости бруса при выбранном диаметре, если допускаемый угол закручивания 1 град/м;

 5) построить эпюру углов закручивания.

Для всех вариантов принять модуль сдвига для стали

Числовые данные берутся из табл. 3, расчетные схемы - по рис. 6.

Таблица 3

Числовые данные к задаче № 3

Номер

строки

Номер

расч.

схемы по

Размер, м

Момент, кН× м

[t], МПа

рис. 6

а

B

с

1

1

0,8

0,4

1,0

2,0

1,6

1,0

35

2

2

0,6

0,5

0,5

1,8

1,7

1,2

40

3

3

0,4

0,7

0,7

1,7

0,9

0,7

50

4

4

0,6

0,4

0,6

1,5

0,8

1,5

45

5

5

0,5

0,8

0,4

1,3

2,0

1,4

60

6

6

0,7

1,0

0,8

1,0

1,7

2,0

40

7

7

1,0

0,7

1,0

1,6

1,5

1,6

35

8

8

0,4

0,6

0,5

1,4

1.6

1,8

70

9

9

0,7

0,4

0,6

1,5

0,8

0,9

80

0

10

0,5

0,5

0,4

0,9

1,0

1,5

60

з

ж

а

б

в

г

д

е

Рис. 6. Расчетные схемы к задаче № 3

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ № 3

Основные теоретические сведения и расчетные формулы

Брус, нагруженный парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны его оси, испытывает деформацию кручения. Внутренним силовым фактором в поперечном сечении бруса в этом случае является крутящий момент , величину которого определяют методом сечений.

На основании этого метода можно сформулировать правило для определения крутящего момента в сечении бруса: крутящий момент в любом сечении бруса численно равен алгебраической сумме крутящих моментов, расположенных по одну сторону от этого сечения; при этом крутящий момент, приложенный к брусу, считается условно положительным, если при взгляде вдоль оси бруса с левого конца мы видим его направленным по ходу часовой стрелки.

Размеры и форма поперечного сечения бруса в расчетах на кручение учитываются двумя геометрическими характеристиками: полярным моментом инерции  и полярным моментом сопротивления . Для круглого сечения они вычисляются по следующим формулам:

 (3.1)

 (3.2)

где d - диаметр сечения.

Крутящий момент  вызывает в сечениях касательные напряжения , вычисляемых по формуле

  , (3.3)

где - крутящий момент в сечении бруса;

  - полярный момент инерции сечения;

  - расстояние от центра тяжести сечения до точки, в которой определяются напряжения.

Условие прочности записывается в виде

 (3.4)

где  - максимальная по модулю величина крутящего момента, определяемого по эпюре ;

- полярный момент сопротивления;

  [t] - допускаемое касательное напряжение.

Деформация при кручении характеризуется углом закручивания  j(рад):

 (3.5)

где l - длина бруса;
G - модуль сдвига (модуль упругости второго рода).


Угол закручивания на единице длины бруса называется относительным углом закручивания  и вычисляется по формуле

. (3.6)

Условие жесткости накладывает ограничение на величину относительного угла закручивания:

,

где [q ] - допускаемый угол закручивания.

Условие жесткости с учетом формулы (3.6) имеет вид

. (3.7)

 

 

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ №3

Рис. 7. Брус, работающий на кручение:
а - расчетная схема;
б - эпюра крутящих моментов;
в - эпюра углов закручивания

Для заданного бруса круглого сечения (рис. 7, а) определить величину момента X, при котором угол поворота свободного конца бруса равен нулю, построить эпюры крутящих моментов и углов закручивания, подобрать диаметр сечения по условию прочности и произвести проверку бруса на жесткость.

Числовые данные к задаче: а =0,8 м; в=1,0 м;
с=0,4 м; M1=2 кН
× м; M2=0,9 кН×м;  [t]=40 МПа; G=8×104 МПа.

1.Определение величины неизвестного крутящего момента Х.

Брус жестко заделан левым концом А, правый конец Е свободный. В сечениях В, С, и D приложены известные крутящие моменты. Для определения неизвестного момента Х используем условие равенства нулю угла поворота сечения Е.

Угол поворота сечения Е относительно сечения А определяется как сумма углов закручивания отдельных участков:

 (3.8)

Крутящие моменты , входящие в выражение (3.8), определяются по приведенному выше правилу.

Вычисления начинаем с незакрепленного  конца:

 

 

  (3.9)

Используя выражения (3.9) и сокращая на , приводим уравнение (3.8) к виду

.

Подставляя значения a , b , c (рис. 7, а.) и решая это уравнение, получаем Х = 0,34 кН×м.

Примечание: если значение Х получится со знаком минус, направление крутящего момента задано неправильно. В данном примере X положителен, следовательно, направление крутящего момента, показанное на рис.7, правильно.

2. Построение эпюры крутящих моментов.

Найденное значение Х = 0,34 кН×м подставляем в выражения (3.9), вычисляя таким образом величину крутящего момента на каждом участке:

По найденным значениям  строим эпюру крутящих моментов. Для этого рассматриваем последовательно участки ЕD, DC, CB и CA. Крутящие моменты, действующие на этих участках, уже вычислены.

Величина крутящего момента на каждом участке не зависит от положения сечения в пределах участка (крутящий момент постоянен), поэтому эпюра крутящих моментов ограничена отрезками прямых  (рис.7,б). Построенная эпюра позволяет найти опасное сечение, т.е. такое, в котором действует максимальный (по модулю) крутящий момент.

В рассматриваемом примере опасными будут сечения в пределах участка АВ; расчетное значение крутящего момента

3. Подбор диаметра поперечного сечения бруса.

Используем условие прочности (3.4)

.

Учитывая, что , выразим диаметр из условия прочности

Подставляя 1,56 кН×м и , вычисляем диаметр поперечного сечения, округляя его до стандартной величины:

4. Проверка условия жесткости.

Условие жесткости записываем в форме (3.7):

.

По условию задачи [q]= 1 град/м. Переводя значение угла из градусной меры в радианную, получаем

Вычисляем выражение, стоящее в левой части условия жесткости, определив предварительно величину полярного момента инерции бруса:

 

Сравнение левой и правой частей условия жесткости показывает, что оно выполняется:

5. Построение эпюры углов закручивания.

Вычисляем углы закручивания по участкам, используя формулу (3.5):

Угол поворота каждого сечения равен сумме углов закручивания соответствующих участков бруса. Суммирование углов начинаем с незакрепленного конца А:

 так как сечение в заделке неподвижно;

По вычисленным углам поворота сечений построена эпюра углов закручивания (рис. 7, в).

Равенство  является проверкой решения, так как неизвестный крутящий момент Х определялся из условия равенства нулю угла поворота


Решение задач Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов