Контрольная работа по сопромату

Контрольная работа по сопромату

ЗАДАЧА № 2

Абсолютно жесткий брус АВ опирается на шарнирно-неподвижную опору и прикреплен с помощью шарниров к двум стальным стержням.

Требуется подобрать сечения стержней по условию их прочности, приняв запас прочности по отношению к пределу текучести .

Соотношение площадей поперечных сечений стержней указано на расчетных схемах, модуль упругости стали для всех вариантов  

Студенты строительных специальностей дополнительно определяют допускаемую силу, используя расчет по предельной грузоподъемности, и сравнивают ее с заданной.

Числовые данные берутся из табл.2, расчетные схемы - по рис. 3.

Таблица 2

Числовые данные к задаче № 2

Номер

строки

Номер

расчет.

схемы по

Размер, м

Сила,

кН

Марка

стали

Предел

текучести,

МПа

рис 2

а

b

с

1

1

1,2

1,6

1,0

3

20

250

2

2

1,2

1,5

0,8

5

30

300

3

3

1,4

1,4

1,0

4

40

340

4

4

1,4

1,6

0,9

2

20

250

5

5

1,4

1,5

0,7

6

50

380

6

6

1,3

1,4

0,8

5

30

300

7

7

1,5

1,2

1,0

3

40Х

800

8

8

1,5

1,1

0,9

4

20

250

9

9

1,2

1,5

1,0

6

40

340

0

10

1.2

1.6

1,0

4

40Х

800

з

ж

а

б

в

г

г

 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ № 2

Основные теоретические сведения и расчетные  формулы

В задаче № 2 рассматривается статически неопределимая конструкция, стержневые элементы которой работают на растяжение или сжатие и число неизвестных сил, приложенных к абсолютно жесткому брусу, превышает возможное число уравнений статики. Разность между числом неизвестных усилий

Рис. 3. Расчетные схемы к задаче № 2

и числом возможных уравнений статики определяет степень статической неопределимости системы. Уравнения, недостающие для определения усилий в стержнях, можно получить, рассматривая возможную деформацию системы. Условие, выражающее зависимость между деформациями отдельных элементов системы (конструкции), называется условием совместности деформаций. Оно получается из геометрических соотношений между деформациями элементов конструкции. Используемые при решении задачи расчетные формулы приведены в методических указаниях к решению задачи № 1.

Метод расчета статически неопределимой системы по предельной грузоподъемности (по разрушающим нагрузкам) достаточно подробно изложен в учебной литературе и в данном пособии рассмотрен на конкретном примере.

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ №2

Жесткий брус АВ закреплен, как показано на ри.4, и нагружен силой  5 кН.

Требуется подобрать сечения стержней из условия их прочности. Числовые данные к задаче берутся из табл.2. Для данной задачи примем

 а =1,2 м; в =1,4 м; с =1,0 м материал - сталь 40,

.

Вычислим степень статической неопределимости.

 Жесткий брус АВ закреплен с помощью шарнирно-неподвижной опоры и поддерживается двумя деформируемыми стальными стержнями АЕ и ВК. На опоре С (рис.4) - две составляющие реакции XC и YC , реакции в стержнях направлены вдоль их осей и приложены к брусу АВ в точках А и В. Направление этих реакций рекомендуется установить после анализа возможного деформированного состояния конструкции.


 Рис. 4. Расчетная схема

Для плоской системы сил в общем случае ее приложения к конструкции можно составить только три независимых уравнения равновесия. В рассматриваемой задаче к брусу АВ приложено четыре неизвестных усилия: две реакции в шарнире и два усилия в стержнях. Разность между числом неизвестных усилий и числом уравнений статики показывает, что для определения этих неизвестных необходимо составить еще одно уравнение статики, в которое входили бы интересующие нас величины. Такое уравнение или несколько подобных уравнений можно получить из геометрических зависимостей между деформациями элементов заданной конструкции.

Рассмотрим конструкцию после деформации ее элементов (рис.5). Под действием силы Р жесткий брус может повернуться вокруг точки С, при этом стержни АЕ и ВК будут деформированы. Точки А и В описывают при повороте бруса дуги окружностей, которые ввиду малости перемещений заменяются касательными, т.е. считается, что эти точки перемещаются по перпендикулярам к радиусам АС и ВС этих дуг. Точка А смещается вниз и занимает положение , точка В - вверх, занимая положение . Брус, как абсолютно жесткий элемент конструкции, - положение  .Очевидно, что стержень АЕ сжат и стал короче на величину . Соединив точки К и , находим на чертеже положение стержня ВК после его деформации. Опустив перпендикуляр из точки В на прямую , находим точку


Отрезок  - удлинение стержня ВК.

  Действительно,  , так как КВ=КВ2, и стержень КВ растянут.

Выяснив направление усилий в стержнях, показываем векторы этих усилий на схеме недеформированного состояния конструкции (см. рис. 4) и составляем уравнение ее равновесия:

 

  (2.1)

Определения составляющих реакции шарнира  для решения данной задачи не требуется, и два других уравнения статики не составляются.

Для вычисления усилий в стержнях  необходимо иметь еще одно уравнение, называемое уравнением совместности деформаций. Это уравнение получаем из геометрических соотношений между деформациями элементов заданной конструкции. При этом ввиду малости деформаций изменением угла наклона стержня ВК пренебрегаем, считая что Ð.

 Тогда

 

Из подобия треугольников  и  находим соотношение между деформациями стержней -:

 

   (2.2)

Полученная зависимость (2.2) называется условием совместности деформаций.

Абсолютные удлинения стержней можно выразить через усилия, используя формулу Гука (1.2):

   (2.3)

Подставив выражения (2.3) в условие совместности деформаций (2.2), получим

 

   (2.4)

Решая систему уравнений (2.1) и (2.4), определяем усилия в стержнях . Для этого подставим значение N1 из (2.4) в уравнение (2.2):

 ;

 .

Решив систему уравнений, получим

 

 .

Определив усилия в стержнях, переходим к подбору площадей их поперечных сечений.

Для заданного материала по формуле (1.13) вычислим допускаемое напряжение

Определяем напряжения в стержнях и выбираем большее:

 Па ;

 Па.

Площадь сечения F подбираем по условию прочности наиболее нагруженного стержня. Так как  больше , используем условие прочности первого стержня:

 

 

Площади сечений стержней принимаем в соответствии с заданным соотношением:

 

Определение допускаемой силы Р по условию задачи производится по предельной грузоподъемности конструкции.

Предельным состоянием конструкции называется такое состояние, при котором она начинает деформироваться без увеличения нагрузки.

В данном примере это произойдет в том случае, когда напряжения во всех стержнях достигнут предела текучести

 

Усилия в стержнях будут определяться по формулам

  (2.5)

Нагрузка, соответствующая предельному состоянию, называется предельной. Ее величину можно найти из уравнения предельного равновесия, которое получается из уравнения (2.1) после подстановки в него значений :

 

Допускаемая нагрузка  с учетом заданного коэффициента запаса

 

Величина допускаемой нагрузки при расчете по предельной грузоподъемности получается большей, чем при расчете по допускаемым напряжениям:

 

Разница составляет 34 %, что является результатом разных предположений об опасном состоянии конструкции: при расчете по допускаемым напряжениям опасным считается состояние, при котором только в одном стержне напряжение достигает предела текучести. Для статически неопределимых систем расчет по предельной грузоподъемности дает более экономичное решение при назначении размеров сечения, и им широко пользуются в строительной практике.


Решение задач Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов