Контрольная работа по сопромату

Контрольная работа по сопромату

ЗАДАЧА № 11

Для стального стержня длиной l, cжимаемого силой Р, требуется:

1) подобрать размеры поперечного сечения стержня из условия его устойчивости при допускаемом напряжении на сжатие [s] = 160 МПа (расчет проводить методом последовательных приближений по коэффициенту снижения допускаемых напряжений  на сжатие);

2) найти величину критической силы и коэффициент запаса устойчивости nу.

Рис. 40. Расчетные схемы сжатых стержней и их поперечные

сечения

Числовые данные для расчета следует взять из табл.15, расчетные схемы - по рис. 40.

Таблица 15

 Числовые данные к задаче №11

Номер

строки

Номер расч.

схемы

по рис. 40

Сила

Р, кН

Длина

  стержня

l, м

1

1

500

2,5

2

2

480

3,9

3

3

450

2,8

4

4

300

3,2

5

5

350

2,7

6

6

370

3,5

7

7

360

3,0

8

8

460

2,7

9

9

370

2,6

0

10

400

3,1

з

ж

б

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ № 11

Основные теоретические сведения и расчетные формулы

 При сжатии гибкого стержня осевой силой возможна потеря его устойчивости, при которой ось стержня искривляется и начальная прямолинейная форма равновесия нарушается. Минимальная сжимающая сила, превышение которой вызывает потерю устойчивости, называется критической силой.

При расчетах сжатых стержней на устойчивость встречаются следующие основные задачи:

1. Вычисление величины критической силы;

2. Определение допускаемого значения сжимающей силы;

3. Подбор сечения стержня по условию его устойчивости;

4. Определение запаса устойчивости стержня.

Величина критической силы вычисляется по формуле Эйлера или Ясинского в зависимости от гибкости рассматриваемого стержня.

Под гибкостью стержня понимается безразмерная величина, вычисляемая по формуле

  (11.1)

где l- длина стержня;

 imin - минимальный радиус инерции поперечного сечения;

 m - коэффициент, зависящий от способа закрепления концов стержня.

Его значения для наиболее распространенных способов закрепления приведены в табл.16.

Формула Эйлера применима при условии, что критическое напряжение, равное , не превышает предела пропорциональности материала стержня. Обычно это условие выражается формулой

 

  , (11.2)

где  - предельная гибкость стержня. 

Для каждого материала  определяется по выражению

, (11.3)

где Е - модуль упругости материала;

 sпц - предел пропорциональности материала стержня.

Например, для стали марки Ст.3 при E = 2×105 МПа, sпц = 200 МПа и предельная гибкость lпр = 100.

Если расчетная гибкость стержня больше или равна предельной, то для вычисления критической силы применяется формула Эйлера:

 (11.4)

если гибкость меньше предельной, то для вычисления критической силы используется эмпирическая формула,  предложенная Ясинским:

 

 (11.5)

(для стали Ст3  ).

Наряду с расчетами по формуле Эйлера или Ясинского при расчетах сжатых стержней на устойчивость широко применяется метод, в котором условие устойчивости сжатого стержня записывается в следующем  виде:

 [s]у = j × [s]с, (11.6)

где  N- сжимающая сила;

 F - площадь поперечного сечения стержня;

 [s]у - допускаемое напряжение при расчете стержня на устойчивость; 

 [s]с - допускаемое напряжение материала стержня при сжатии;

 j - коэффициент снижения допускаемого напряжения.

Величина коэффициента j зависит от гибкости стержня l и материала, из которого он изготовлен. Для малоуглеродистой стали (Ст.3) его можно определить по табл.17.

Таблица 16

Коэффициенты приведения длины m

Схема

закрепления

Коэффициент

2

1

0,7

0,5

в зависимости от способа закрепления концов cтержня

Таблица 17

Величины коэффициентов j для стали Ст. 3
в зависимости от гибкости
l

0

10

20

30

40

50

60

1,00

0,99

0,96

0,94

0,92

0,89

0,86

70

80

90

100

110

120

130

0,81

0,75

0,69

0,60

0,52

0,45

0,40

140

150

160

170

180

190

200

0,36

0,32

0,29

0,26

0,23

0,21

0,199

Условие устойчивости позволяет найти допускаемое значение сжимающей силы:

 j × [s]сж. (11.7)

Поскольку условие устойчивости включает в себя два параметра  и j, зависящие друг от друга, при подборе сечения стержня следует использовать способ проб, заключающийся в том, что задаются значением одного из параметров, например j, определяют из условия устойчивости площадь сечения, а затем проверяют, удовлетворяется ли условие

 = j × [s]сж.

Если условие удовлетворяется, то расчет на этом заканчивается, если нет, то задаются новым значением и аналогичный расчет повторяется до тех пор, пока условие устойчивости не будет удовлетворено.

Запас устойчивости сжатого стержня

  (11.8)

показывает, во сколько раз критическая сила больше заданной или допускаемой.

 

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ №11

Рис. 41. Расчетная схема сжатого стержня и его поперечное сечение

Стальной стержень длиной l =2,8 м заданной формы поперечного сечения сжимается силой Р = 411кН (рис.41).

Требуется:

  1) подобрать размеры поперечного сечения стержня (расчет производить методом последовательных приближений по коэффициенту );

2) найти величину критической силы Ркр и вычислить запас устойчивости стержня nу. Материал стержня сталь Ст.3; допускаемое напряжение на сжатие [s]с=160 МПа.

1. Определение геометрических характеристик сечения стержня через искомый размер сечения a:

площадь сечения

 размер a

Главные центральные моменты инерции

Минимальный момент инерции

Минимальный радиус инерции

Для заданного варианта закрепления по табл. 16 выбирается коэффициент приведения длины m = 0,7.

Гибкость стержня

2.Подбор поперечного сечения стержня.

Из условия устойчивости площадь поперечного сечения

Как указывалось выше, в условии устойчивости неизвестными величинами являются j и F, которые можно найти методом последовательных приближений, для чего задается одна из неизвестных величин -.

Для первого приближения примем j1 = 0,5.

Тогда соответствующая площадь поперечного сечения стержня

Находим параметр а:

Проверяем, соответствует ли допускаемая нагрузка для подобранного сечения заданной силе.

Гибкость стержня при

 По табл. 17 следует найти соответствующий коэффициент . Значения l = 102 в таблице нет, поэтому искомое значения коэффициента j определяется линейной интерполяцией:

при l = 100 j100 = 0,60;

при l = 110 j110 = 0,5;

 Соответствующая допускаемая сила

 ,

 Расхождение между заданной силой и полученной

Подобранное сечение не удовлетворяет условию устойчивости, так как допускаемое расхождение между силами заданной и полученной расчетным путем не должно превышать 5 %.

Вычисления повторяются еще раз.

Второе приближение: новое значение коэффициента j2 определяется по выражению:

 Все вычисления, выполненные при первом приближении, повторяются, но при новом значении j = j2:

 Расхождение между силами  составляет менее 5 %, что приемлемо. Тогда искомый размер

3.Определение критической силы.

 Для подобранного сечения расчетная гибкость стержня

 

Предельная гибкость для стали марки Ст. 3 равна 100, поэтому критическую силу следует вычислять по формуле Эйлера, так как l>lпр .

Минимальный момент инерции принятого сечения стержня

 Критическая сила

 Запас устойчивости сжатого стержня:


Решение задач Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов