Контрольная работа по сопромату

Контрольная работа по сопромату

ЗАДАЧА № 1

Ступенчатый брус нагружен силами  и , направленными вдоль его оси. Заданы длины участков a, b, c и площади их поперечных сечений  и . Модуль упругости материала МПа, предел текучести МПа и запас прочности по отношению к пределу текучести .

 Требуется:

  1) построить эпюры продольных сил , напряжений  и продольных перемещений D;

 2) проверить, выполняется ли условие прочности.

Расчетные схемы выбираются по рис.1, числовые данные берутся из табл.1.

Рис. 1. Расчетные схемы к задаче № 1

Таблица 1

Числовые данные к задаче № 1

Номер

строки

Номер

схемы по

Сила, кН

Длина участков, м

Площадь поперечного сечения, см2

рис1.

а

b

с

1

1

40

90

100

0,3

0,5

0,6

5

10

2

2

45

80

120

0,3

0.5

0,5

4

12

3

3

50

85

110

0,4

0,6

0,4

6

14

4

4

35

70

115

0,4

0,6

0,6

4

10

5

5

40

75

100

0,5

0,4

0,3

5

15

6

6

50

80

95

0,5

0,4

0,4

6

18

7

7

60

70

120

0,3

0,2

0,5

4

12

8

8

45

60

115

0,4

0,3

0,6

7

10

9

9

35

65

110

0,2

0,4

0,4

8

14

0

10

30

90

95

0,5

0,5

0,3

6

16

з

ж

а

Д

е

ж

г

б

В

 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШНИЮ ЗАДАЧИ №1

Основные теоретические сведения и расчетные  формулы

 Рассмотрим такой вид нагружения, как растяжение (сжатие), при котором в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы, направленные вдоль его оси, все остальные внутренние усилия равны нулю.

Продольная, или нормальная сила, N считается положительной при растяжении и отрицательной при сжатии. Ее величина может быть найдена с помощью метода сечений: она численно равна алгебраической сумме проекций на ось бруса всех внешних сил, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Действующая в поперечном сечении продольная сила N равномерно распределяется по всему сечению и, как следствие этого, нормальные напряжения  также равномерно распределяются по всему сечению.

Их величина определяется по формуле

  , (1.1)

где N - продольная сила в поперечном сечении;

 F - его площадь.

(В некоторых учебниках и учебных пособиях площадь обозначается латинской буквой А).

В системе СИ сила выражается в ньютонах, площадь поперечного сечения - в квадратных метрах (м2), нормальное напряжение - в паскалях (Па).

Сила может быть выражена в килограммах, а напряжение в килограммах, деленных на сантиметр в квадрате.

Абсолютное удлинение бруса при растяжении определяется по формуле

  (1.2)

где l - начальная длина бруса;

 lк - длина бруса после деформации.

Относительное удлинение бруса (относительная продольная деформация)

  . (1.3)

При растяжении Dl > 0 и e > 0, при сжатии эти величины отрицательны.

Абсолютное поперечное сужение

   (1.4)

где b - первоначальный поперечный размер бруса;

 bк - величина поперечного размера бруса после нагружения.

Относительное поперечное сужение (относительная поперечная деформация)

 . (1.5)

Абсолютная величина отношения , обозначаемая , называется коэффициентом Пуассона. Она является постоянной для каждого материала и характеризует его упругие свойства:

   (1.6)

Между нормальным напряжением и относительным удлинением существует прямая пропорциональная зависимость, называемая законом Гука

 , (1.7)

где E - коэффициент пропорциональности ( модуль упругости первого рода, или модуль Юнга).

Модуль упругости - это физическая характеристика материала, измеряемая в тех же единицах, что и нормальное напряжение.

Учитывая, что  и , можно записать выражение для вычисления абсолютного удлинения бруса в виде

  . (1.8)

Для ступенчатого стержня и (или) стержня с несколькими продольными нагрузками удлинение подсчитывается как алгебраическая сумма удлинений участков бруса, в пределах которых N, E, F постоянны:

  . (1.9)

Если же величины N и F изменяются по длине бруса, его абсолютное удлинение вычисляется по формуле

   (1.10)

 

Используя соотношение smax £ [s], называемое условием прочности, можно решить три основных задачи сопротивления материалов.

1. Подобрать сечение растянутого (сжатого) бруса, при котором его прочность будет обеспечена. Расчетная формула в этом случае имеет вид

  , (1.11)

где N - продольная сила в опасном сечении бруса (сечении, в котором действует максимальное нормальное напряжение);

F - площадь поперечного сечения бруса;

[s] - допускаемое напряжение материала бруса.

Отсюда определяется необходимая площадь его сечения

  . (1.12)

Зная форму сечения и его площадь, можно определить линейные размеры сечения или по сортаменту подобрать требуемый стандартный профиль: уголок, швеллер, двутавр и т. д.

Допускаемое напряжение [s] либо задается заранее, либо находится по формуле

  , (1.13)

где sопасн = sт - предел текучести для пластичных материалов; sопасн=- временное сопротивление для хрупких материалов;

  n - запас прочности материала .

2. Определить допускаемую нагрузку, если известны прочностные свойства материала и площадь поперечного сечения бруса.

Расчетная формула, вытекающая из условия прочности

  , (1.14) 

позволяет вычислить наибольшее значение продольной силы N, действующей в опасном сечении и, следовательно, величину внешних нагрузок, приложенных к брусу.

3. Проведение поверочного расчета прочности бруса.

При поверочном расчете нагрузки, размеры и материал, из которого изготовлен брус, считаются известными. Вычисляется наибольшее нормальное напряжение в опасном поперечном сечении и сравнивается с допускаемым:

  (1.15) 

Если smax £ [s], то прочность бруса обеспечена.

 

 

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ №1

Ступенчатый брус нагружен силами Р1, Р2, Р3, (рис.2,а).

Требуется построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений s, продольных перемещений D и проверить, выполняется ли условие прочности.

Числовые данные к задаче выбираются по табл. 1.

 Например:  кН,  кН,  кН, м м, м;

Для всех вариантов принимается: ; .

1. Построение эпюры N.

На брус действуют три силы, следовательно, продольная сила по его длине будет изменяться. Разбиваем брус на участки, в пределах которых продольная сила будет постоянной. В данном случае границами участков являются сечения, в которых приложены силы. Обозначим сечения буквами А, В, С, D, начиная со свободного конца, в данном случае правого.

Рис. 2. Расчетная схема бруса и эпюры:

а ‑ расчетная схема; б ‑ эпюра продольных сил; в ‑ эпюра напряжений;

 г ‑ эпюра продольных перемещений

Для определения продольной силы на каждом участке рассматриваем произвольное поперечное сечение, сила в котором определяется по правилу, приведенному ранее. Чтобы не определять предварительно реакцию в заделке D, начинаем расчеты со свободного конца бруса А.

Участок АВ, сечение 1-1. Справа от сечения действует растягивающая сила  (рис. 2, а). В соответствии с упомянутым ранее правилом, получаем

 

Участок ВС, сечение 2-2. Справа от него расположены две силы, направленные в разные стороны. С учетом правила знаков, получим

Участок СD, сечение 3-3: аналогично получаем

По найденным значениям N в выбранном масштабе строим эпюру, учитывая, что в пределах каждого участка продольная сила постоянна (рис.2.5)

Положительные значения N откладываем вверх от оси эпюры, отрицательные - вниз.

Построение эпюры напряжений s.

По формуле (1.1) вычисляем напряжения в поперечном сечении для каждого участка бруса:

;

;

.

При вычислении нормальных напряжений значения продольных сил N берутся по эпюре с учетом их знаков. Знак плюс соответствует растяжению, минус - сжатию. Эпюра напряжений показана на рис. 2, в.

Построение эпюры продольных перемещений.

Для построения эпюры перемещений вычисляем абсолютные удлинения отдельных участков бруса, используя закон Гука (1.8):

;

.

Определяем перемещения сечений, начиная с неподвижного закрепленного конца. Сечение D расположено в заделке, оно не может смещаться и его перемещение равно нулю:

 

Сечение С переместится в результате изменения длины участка CD. Перемещение сечения С определяется по формуле

.

При отрицательной (сжимающей) силе точка С сместится влево.

 Перемещение сечения В является результатом изменения длин DC и CB. Складывая их удлинения, получаем

 .

Рассуждая аналогично, вычисляем перемещение сечения А:

.

В выбранном масштабе откладываем от исходной оси значения вычисленных перемещений. Соединив полученные точки прямыми линиями, строим эпюру перемещений ( рис. 2, г).

Проверка прочности бруса.

Условие прочности записывается в следующем виде:

.

Максимальное напряжение  находим по эпюре напряжений, выбирая максимальное по абсолютной величине:

.

Это напряжение действует на участке DC, все сечения которого являются опасным.

  Допускаемое напряжение вычисляем по формуле (1.13):

.

Сравнивая  и , видим, что условие прочности не выполняется, так как максимальное напряжение превышает допускаемое.


Решение задач Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов