Контур с током в магнитном поле Ферромагнетики Дифракция света Поляризационные призмы и поляроиды Поглощением (абсорбцией) света Основы квантовой механики Туннельный эффект Физика атомного ядра Гамма-излучение
Учебник по физике Магнитное поле кругового тока Электростатика Классическая механика

Учебник по физике. Конспект лекций и примеры решения задач

Гармонический осциллятор.

 Единая теория колебаний при анализе математически идентичных физических систем использует обобщающее понятие гармонического осциллятора, не различающего в принципе колебательные процессы в электрическом колебательном контуре и в системах, совершающих механические колебания.

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида (26.1):

x = A×cos(wot + jo)

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур (для токов и напряжений столь малых, что элементы контура можно было бы считать линейными).

Незатухающие механические колебания.

Пружинный, физический и математический маятники

1. Пружинный маятник — это груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = - kx (рис.26.2,б), где k – жесткость пружины. Уравнение движения маятника

  (26.17)

Из выражений (26.11) и (26.12) следует, что формула (26.17) является дифференциальным уравнением движения пружинного маятника, который совершает гармонические колебания по закону х = A×cos(wot + j) с циклической частотой

  (26.18)

и периодом

  (26.19) 

Формула (26.19) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука , т. е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника равна

 

2. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела (рис. 26.3).

 Рис.26.3. Физический маятник.

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол a, то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела момент М возвращающей силы можно записать в виде

 (26.20)

где J — момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса О, l - расстояние между ней и центром масс маятника, Ft = - mgsina » -mga - возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления Ft и a всегда противоположны; sina » a соответствует малым колебаниям маятника, т. е. малым отклонениям маятника из положения равновесия). Уравнение (26.20) можно записать в виде

 

Принимая

  (26.21) 

получим уравнение

 

идентичное с (26.11), решение которого известно:

   (26.22)

Из выражения (26.22) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой wo (см. (26.21)) и периодом

 (26.23)

где  - приведенная длина физического маятника.

3. Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Момент инерции математического маятника, как материальной точки

 J = m2, (26.24)

где  - длина маятника.

Так как математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив выражение (26.24) в формулу (26.23), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника

 (26.25)

Сравнивая формулы (26.23) и (26.25), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

Вынужденные механические колебания Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора Х(t), изменяющего по гармоническому закону

Энергия свободных механических колебаний

Квазиупругая сила является консервативной. Поэтому полная энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной. В процессе колебаний, как мы выяснили выше, происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, причем в моменты наибольшего отклонения из положения равновесия полная энергия Е состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения Ерmax

Свободные затухающие механические колебания пружинного маятника.

Сложение колебаний (колебания в системах с несколькими степенями свободы) Рассмотренные в предыдущих параграфах закономерности колебательных движений являются простейшими в том смысле, что они характеризуют свойства изолированного колебания. Такие колебания происходят в системах с одной степенью свободы (рассматривается движение под действием сил, направленных вдоль единственной оси, например, Х).

Сложение колебаний одинакового направления Возможны случаи, когда тело участвует одновременно в нескольких колебаниях, происходящих вдоль одного и того же направления. Если, например, подвесить шарик на пружине к потолку вагона, качающегося на рессорах, то движение шарика относительно поверхности Земли будет складываться из колебаний вагона относительно Земли и колебаний шарика относительно вагона.


Физика атомного ядра