Классическая механика Законы Ньютона Движение твердого тела Барометрическая формула Изопроцессы идеального газа Гармонический осциллятор Механические волны Электростатика Поле электрического диполя Емкость плоского конденсатора.

Работа и мощность постоянного тока Энергия электромагнитных волн Учебник по физике Магнитное поле кругового тока

Учебник по физике. Конспект лекций и примеры решения задач

ПРИМЕР. Будем рассматривать все расчеты и рассуждения применительно к конкретному примеру.

Задача – измерение ускорения свободного падения g путем измерения продолжительности свободного падения тела с высоты h.

Без учета сопротивления воздуха

Измерения высоты производится линейкой с ценой деления с=1 см, а время измеряется секундомером с погрешностью 0,01 секунды.

Прямыми измерениями получена серия данных:

h, м

0,70

0,70

0,70

0,70

0,70

t, c

0,34

0,36

0,40

0,38

0,37

Видно, что появление того или иного значения – случайное явление в некотором диапазоне значений, группирующихся около среднеарифметического значения выборки (в нашем случае ).

Известны различные математические законы распределения случайных величин. Наиболее широко распространены нормальный (гауссов) закон и закон равномерного распределения. Ограничимся лишь кратким рассмотрением нормального закона (более подробно вопрос можно изучить с помощью методических указаний авторов Петрунин В.А., Громов В.Е., Березовский В.Н., Мальцев В.Д. «Обработка наблюдений и представление результатов эксперимента», Новокузнецк, СибГИУ,1999, 45 с. или с помощью указанной там литературы). Отметим, что значительная часть приведенной в этой лекции теории заимствована из этих методуказаний.

В соответствии с теорией, при нормальном законе распределения средних значений выборки (и абсолютных погрешностей измерения) сама величина среднеарифметического значения  при N®¥,

где , (1.1)

х0 – истинное значение величины, а N – число произведенных измерений. Из-за ограниченного числа измерений рассчитанная величина  отличается от х0 в принципе тем больше, чем меньшее число измерений произведено.

Корректное представление результата измерений требует указания границ интервала, в которых, скорее всего, будут лежать результаты измерений другого исследователя, если он будет измерять эту же величину этим же методом. Принято вычислять границы доверительного интервала Dх с указанием вероятности Р попадания в него результата измерения.

Результат записывают обычно в виде хºх0= с вероятностью Р.

Доля случайной погрешности в результатах измерений определяется с помощью выражения

, (1.2) 

где tp,N – коэффициенты распределения Стьюдента, определяемые из таблицы для числа опытов N при заданной вероятности р. Часто выбирают «стандартную» вероятность 0,7 и тогда ее не указывают. В студенческой практике широко применяется вероятность 0,95.

 - среднее квадратичное отклонение среднего , вычисляемое по формуле

 , (1.3)

Dxi – абсолютная погрешность i-ого измерения.

Величину  (1.4)

называют среднеквадратичным отклонением результата наблюдений от среднего значения, она близка по смыслу к математическому понятию дисперсия распределения s и может применяться для приближенного выявления промахов.

А именно: если разность для некоторого i-того измерения, то этот результат следует признать промахом.

Долю приборной (систематической) погрешности определяют из соотношения

. (1.5)

Окончательно границы доверительного интервала серии прямых измерений определяют из соотношения

 (1.6)

При использовании табличных результатов, результатов, полученных другими авторами, а также трансцендентных чисел (p, е – основание натурального логарифма и т.п.) необходимо учитывать ошибки, вносимые округлениями и отбросом части чисел. Например, если указано значение плотности вещества 2700 кг/м3, то погрешность составляет половину следующего (за последним указанным) порядка, т.е. ±0,5 кг/м3.

 Все вышеизложенное предопределяет некоторый обязательный набор вычислительных операций при анализе результатов физических измерений, характеризующийся отличиями при обработке результатов прямых и косвенных измерений.

ПОРЯДОК ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ

Предполагается измерение некоторой физической величины по формуле. Часть физических величин, входящих в расчетную формулу, измеряется непосредственно. Часть физических величин измерена другими экспериментаторами. Предполагаются также нормальные исходные распределения.

Необходимые операции:

1. Исключение известных систематических погрешностей из ре­зультатов наблюдений для всех измеряемых величин.

2. Вычисление средних арифметических по исправленным результатам наблюдений. Среднее арифметическое принимается за результат измерения.

3. Вычисление среднего квадратичного отклонения результата наблюдений для всех измеряемых величин.

4. Вычисление доверительных границ случайных погрешностей.

5. Вычисление границ неисключенных систематических погрешностей.

6. Вычисление границ погрешностей для величин входящих в расчётные формулы, но измеренных другими экспериментаторами.

7. Вычисление доверительных границ общих погрешностей.

8. Вычисление среднего значения косвенно измеренной величины.

 9. Вычисление доверительной погрешности косвенно измеренной величины.

ПОРЯДОК РАСЧЁТА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМОГО ИЗМЕРЕНИЯ

Как видно из предыдущего пункта, этот этап обязательно присутствует в любых измерениях.

Результатами измерения являются среднее значение и доверительный интервал. Результаты наблюдений удобно представлять в форме таблицы. N - объём выборки (число измерений). Предполагается нормальное распределение наблюдений.

1. Вычисление среднего для измеряемой величины Х

 .

2. Вычисление погрешностей всех N наблюдений

 

3. Вычисление квадратов погрешностей всех N измерений .

4. Вычисление среднего квадратичного отклонения выборки

 .

5. Проверка экстремальных наблюдений критериями промахов «3s». Исключение промахов.

6. Повторение операций 1 - 4 с укороченной выборкой.

7. Вычисление среднего квадратичного отклонения среднего

  .

8. Вычисление предельной приборкой погрешности Qх по классу точности или цене деления прибора.

9. Определение коэффициентов Стыодента tP,N и tP,N=100 по соответствующей таблице приложения для доверительной вероятности р==0,95.

10. Вычисление общей доверительной погрешности результата измерения

 

11. Представление результата измерения в форме

  х = .

12. Оценка относительной погрешности результата измерения

 

В разделе “механика” применяются две основные модели: материальная точка и абсолютно твердое тело. Материальной точкой или частицей называется тело в тех случаях, когда изучается только поступательное движение тела как целого, при условии, что размеры, форма и другие его структурные свойства, а также протекающие в нем процессы в пределах точности измерений не влияют на движение тела.

Физика – в переводе с греческого означает «природа», и как трудно дать краткое внятное определение понятию «природа», так трудно дать определение и предмету «физика» из-за чрезвычайной широты области знания, изучаемой этой наукой.

Приборными (инструментальными) погрешностями средств измерений называют такие, которые принадлежат данному средству измерений (СИ), определены при его испытаниях и занесены в его паспорт. Теоретическая погрешность СИ есть разница между значением величины, полученным при помощи этого средства, и истинным значением. Вместо неизвестного истинного значения на практике обычно используется значение, полученное при помощи более точного СИ. По точности СИ делят на рабочие (серийные), образцовые и эталонные. Для рабочего СИ более точным является образцовое, а для образцового СИ – эталонное.

Используются 2 способа обработки результатов косвенного измерения: метод перенесенной погрешности и выборочный метод, дающие близкие результаты.


Основы термодинамики