Классическая механика Законы Ньютона Движение твердого тела Барометрическая формула Изопроцессы идеального газа Гармонический осциллятор Механические волны Электростатика Поле электрического диполя Емкость плоского конденсатора.

Работа и мощность постоянного тока Энергия электромагнитных волн Учебник по физике Магнитное поле кругового тока

Учебник по физике. Конспект лекций и примеры решения задач

Барометрическая формула. Распределение Больцмана.

При выводе основного уравнения кинетической теории газов и закона Д. К. Максвелла предполагается, что на молекулы газа не действуют никакие внешние силы. Поэтому молекулы равномерно распределяются по объему сосуда. Фактически молекулы любого газа всегда находятся в поле тяготения Земли. Если бы не было теплового движения молекул атмосферного воздуха, то все они упали бы на Землю. Если бы не было тяготения, то атмосферный воздух рассеялся бы по всей Вселенной. Тяготение и тепловое движение приводят газ в состояние, при котором его концентрация убывает с высотой.

При неизменной температуре давление газа пропорционально концентрации его молекул. Поэтому и давление газа убывает с высотой.

Рассмотрим закон, которому подчиняется изменение давления газа с высотой.

 Выделим мысленно на высоте z цилиндрический слой высотой dz и площадью основания S. Давление на высоте z равно р, а на высоте z+dz – p+dp (причем dp<0).

 Введем упрощающие предположения.

Атмосферное давление становится пренебрежимо малым уже на высоте 100-200 км, много меньшей радиуса Земли. Поэтому можно считать ускорение силы тяжести, действующее на молекулы газов атмосферы, практически постоянным, не зависящим от высоты и равным g.

Даже у самой поверхности Земли давление и плотность воздуха невелики, и потому воздух можно считать идеальным газом. Массу каждой молекулы обозначим через m, пренебрегая в первом приближении небольшой разницей молекулярных масс основных компонентов воздуха – азота (m = 28 кг/кмоль) и кислорода (m = 32 кг/кмоль).

Температура воздуха с высотой понижается на несколько десятков градусов. Поскольку у поверхности земли абсолютная температура Т»300К, пренебрежем этим изменением и проведем расчет для изотермической атмосферы, считая T=const.

На каждую молекулу действует сила тяжести mg. Число молекул в выделенном объёме равно n×dV = n×S×dz. Полный вес молекул в выделенном объёме равен

dF = mg×n×S×dz.

Кроме веса dF, на молекулы в рассматриваемом объёме действует сила давления (p+dp)×S и снизу сила давления p×S. Под действием этих трех сил объём находится в равновесии. Следовательно,

n×mg×S×dz + (p+dp)×S = p×S.

Сокращаем на S и получим для dp

dp = - n×mg×dz

Заменим

 или .

Полученное уравнение представляет собой обычное дифференциальное уравнение с уже разделенными переменными. Найдем его решение интегрированием правой и левой частей с учетом граничных условий:

  (11.3)

Это и есть барометрическая формула зависимости давления атмосферы от высоты. Ее использование позволяет создавать альтиметры – приборы для измерения высоты полета самолетов, при движении в горах и т.п.

Можно получить еще одно выражение

Теперь можно перейти к анализу зависимости концентрации от высоты, так как

p=nkT, а po=nokT, то, подставляя в (11.3), получаем

 - распределение Больцмана.

Но так как mgz~ep – потенциальной энергии молекулы, а kT~eK – кинетической энергии, то

 - распределение Больцмана для частиц, находящихся в поле 

 сил центральной симметрии.

Как показал Больцман, полученные соотношения остаются справедливыми не только в поле силы тяжести, но и при наличии любых внешних сил.

Явления переноса в газах. Общие закономерности. Беспорядочность теплового движения молекул газа, непрерывные соударения между ними приводят к постоянному перемешиванию частиц и изменению их скоростей и энергий. Если в газе существует пространственная неоднородность плотности, температуры или скорости упорядоченного перемещения отдельных слоев газа, то движение молекул выравнивает эти неоднородности.

Реальные газы. Уравнение состояния реального газа. Уравнения идеального газа отлично выполняются для разряженных газов, когда р < 1 атм. Для 1 < р < 10 атм - выполняются хорошо, от 10 атм<р<100 атм – удовлетворительно (например, для азота отклонения в законе Бойля-Мариотта не превышают 7%), если же давление больше 100 атм – плохо (а в «коммерческом» баллоне с кислородом – 150 атм).

Тройная точка. Диаграмма состояния Возьмем вещество в виде жидкости и находящегося с ней в равновесии насыщенного пара и, не изменяя объема, станем отнимать от него тепло. Этот процесс будет сопровождаться понижением температуры вещества и соответствующим уменьшением давления. Поэтому точка К, изображающая состояние вещества на диаграмме (р,Т), перемещается вниз по кривой испарения (рис.9.7). Это продолжается до тех пор, пока не будет достигнута температура кристаллизации вещества, отвечающая равновесному значению давления.

Средняя длина свободного пробега молекул. Вакуум. Рассматривая состояние реального газа, пришлось прийти к убеждению, что молекулы имеют конечные размеры, и, следовательно, при движении будут сталкиваться друг с другом. Молекулы газа, находясь в тепловом движении, непрерывно сталкиваются друг с другом. Из-за хаотичности движения будут наблюдаться различные длины свободного пробега молекул газа, но, оказывается, существует некоторая средняя длина свободного пробега, характерная для данного состояния газа.

Закон распределения молекул по скоростям Максвелла. При выводе основного уравнения кинетической теории газов мы считали, что молекулы имеют различные скорости. Опыт подтверждает это предположение. Средняя квадратичная скорость, использованная нами выше, является одной из характеристик движения всей совокупности молекул. Она, разумеется, не имеет смысла применительно к одной какой-либо молекуле или к небольшому числу молекул.


Основы термодинамики