Электронный учебник по курсу Основы оптики

9.1. Основные характеристики структуры изображения (ФРТ, ОПФ)

9.1.1. Основные понятия

Передача структуры предмета или изображения – это отображение оптической системой мелких деталей объекта. Математически можно описать зависимость распределения интенсивности от пространственных координат на предмете и изображении в виде функций и .

Свойство линейности

Изображение суммы объектов равно сумме изображений каждого объекта:

Изображающие оптические системы полностью линейны.

Свойство инвариантности к сдвигу (условие изопланатизма)

При смещении точки ее изображение только смещается на пропорциональную величину:

где

– увеличение.

Изопланатическая зона – это зона, в пределах которой соблюдается условие изопланатизма. Мы будем рассматривать структуру изображения в пределах одной изопланатической зоны.

9.1.2. Функция рассеяния точки

Функция рассеяния точки (ФРТ, point spread function, PSF) – это функция, описывающая зависимость распределения освещенности от координат в плоскости изображения, если предмет – это светящаяся точка в центре изопланатической зоны.

Изображение всего предмета будет представлять собой сумму изображений каждой его точки:

Функция изображения есть свертка функции предмета с функцией рассеяния точки:

или

9.1.3. Гармонический периодический объект

Предмет кроме разложения на отдельные точки можно разложить на другие элементарные части – периодические решетки.

Периодическая решетка – это структура с белыми и черными полосами.

Гармоническая периодическая решетка – это структура, интенсивность которой описывается гармонической функцией:

где – вещественная амплитуда, – сдвиг, – период, – угол ориентации.

Интенсивность гармонической решетки в комплексной форме:

где

– пространственная частота, – комплексная амплитуда.

или

где – частота в направлении , – частота в направлении .

Если разложить предмет на элементарные гармонические объекты, то изображение – это совокупность изображений элементарных объектов.

Изображение гармонического объекта:

где , – некоторая функция, зависящая от пространственных частот.

9.1.4. Оптическая передаточная функция (ОПФ)

Оптическая передаточная функция (optical transfer function, OTF) характеризует передачу структуры предмета оптической системой как функция пространственных частот:

ОПФ связана с ФРТ интегральным преобразованием – преобразованием Фурье:

или

где

– обозначение Фурье преобразования:

ФРТ показывает, как оптическая система изображает точку, а ОПФ показывает, как оптическая система изображает гармоническую решетку, то есть как меняется комплексная амплитуда решетки в зависимости от частоты.

Оптическая передаточная функция – это комплексная функция:

Модуль ОПФ называется модуляционной передаточной функцией (МПФ) или частотно-контрастной характеристикой (ЧКХ).

Аргумент (фаза) ОПФ называется фазовой передаточной функцией (ФПФ) или частотно-фазовой характеристикой (ЧФК).

Частотно-контрастная характеристика показывает передачу вещественной амплитуды гармонического объекта:

где – амплитуда на предмете, – амплитуда на изображении.

Контраст гармонического объекта:

Если , то – абсолютный контраст. Если , то – изображение практически отсутствует.

Изображение нельзя зарегистрировать или увидеть в случае, если где – порог контраста, зависящий от приемника изображения (например, для глаза ).

Контраст для изображения гармонического объекта может быть выражен через постоянную и переменную составляющие изображения гармонического объекта:

Если , то ЧКХ будет определяться следующим соотношением:

где – контраст изображения, – контраст предмета.

Частотно-контрастная характеристика показывает зависимость контраста изображения гармонической решетки от частоты решетки, если считать, что на предмете контраст единичный. Для идеальной оптической системы ЧКХ – прямая, параллельная оси.

Для ближнего типа предмета или изображения пространственная частота измеряется в . Для дальнего типа пространственная частота измеряется в .

;