Электронный учебник по курсу Основы оптики

8.1. Формы представления аберраций
(поперечная, продольная, волновая)

8.1.1. Общие положения

В идеальной оптической системе все лучи, исходящие из точки , пересекаются в сопряженной с ней точке . После прохождения реальной оптической системы либо нарушается гомоцентричность пучка и лучи не имеют общей точки пересечения, либо гомоцентричность сохраняется, но лучи пересекаются в некоторой точке , которая не совпадает с точкой идеального изображения (рис.8.1.1). Это является следствием аберраций. Основная задача расчета оптических систем – устранение аберраций.

Рис.8.1.1. Идеальное и реальное изображения точки.

Для вычисления аберраций необходимо определить точку референтного (идеального) изображения , в которой должно находиться изображение по законам гауссовой оптики. Относительно этой точки и определяют аберрации.

8.1.2. Поперечные аберрации

Поперечные аберрации – это отклонения координат точки пересечения реального луча с плоскостью изображения от координат точки идеального изображения в направлении, перпендикулярном оптической оси (рис.8.1.2):

      (8.1.1)

Если точки и совпадают, то поперечные аберрации равны нулю .

Рис.8.1.2. Поперечные аберрации.

Различают поперечные аберрации в сагиттальной плоскости и в меридиональной плоскости . Поперечные аберрации для изображения ближнего типа выражаются в миллиметрах, для изображения дальнего типа – в угловой мере. Для изображения дальнего типа поперечная аберрация – это угловое отклонение между реальным и идеальным лучом (рис.8.1.3).

Рис.8.1.3. Поперечные аберрации для удаленного изображения.

У каждого луча в пучке своя величина поперечной аберрации. Для всего пучка поперечные аберрации – это функции от зрачковых координат:

(8.1.2)

где – реальные зрачковые координаты.

Зрачковые канонические координаты

Зрачковые координаты определяют положение луча в пучке. Канонические (относительные) зрачковые координаты определяются следующим образом:

,       (8.1.3)

где , – входные и выходные реальные зрачковые координаты, , – входные и выходные апертуры. Апертуры определяют максимальные значения зрачковых координат.

Таким образом, верхний луч пучка имеет координаты , нижний луч пучка – , главный луч пучка – , сагиттальный луч – (рис.8.1.4).

Рис.8.1.4. Канонические зрачковые координаты.

Канонические зрачковые координаты можно выразить через полярные координаты и :

      (8.1.4)

где .

8.1.3. Волновая аберрация

Волновая аберрация – это отклонение реального волнового фронта от идеального (рис.8.1.5), измеренное вдоль луча в количестве длин волн:

(8.1.5)

Из выражения (8.1.5) следует, что волновая аберрация пропорциональна отклонениям оптических длин лучей пучка. Поэтому влияние волновой аберрации на качество изображения не зависит от типа изображения, а определяется тем, сколько длин волн она составляет.

Рис.8.1.5. Волновая аберрация.

Референтная сфера – это волновой фронт идеального пучка с центром в точке идеального изображения , проходящий через центр выходного зрачка . При нахождении волновой аберрации с референтной сферой сравнивается ближайший к ней волновой фронт.

Для всего пучка волновая аберрация – это функция канонических зрачковых координат:

(8.1.6)

Поперечная и волновая аберрации – это разные формы представления одного явления, они связаны между собой соотношениями:

(8.1.7)

Таким образом, поперечные аберрации прямо пропорциональны первым частным производным волновой аберрации по каноническим координатам.

8.1.4. Продольные аберрации

Продольные аберрации – это отклонения координаты точки пересечения реального луча с осью от координаты точки идеального изображения вдоль оси (рис.8.1.6):

(8.1.8)

где – положение точки пересечения луча с осью, – положение идеальной точки пересечения.

Рис.8.1.6. Продольные аберрации осевого пучка для изображения ближнего типа.

Для изображения ближнего типа продольные аберрации выражаются в миллиметрах, для изображения дальнего типа (рис.8.1.7) продольные аберрации выражаются в обратных миллиметрах:

,       (8.1.9)

Рис.8.1.7. Продольные аберрации осевого пучка для изображения дальнего типа.

Продольные аберрации связаны с поперечными, и, следовательно, с волновыми тоже:

(8.1.10)

где – задняя апертура осевого пучка.

Выражение (8.1.10) приближенное, оно может использоваться только для случая небольших апертур.

Итак, из выражений (8.1.7) и (8.1.10) следует, что волновая, поперечная и продольная аберрация – это разные формы представления одного явления нарушения гомоцентричности пучков. При оценке качества изображения за исходную модель аберрационных свойств оптической системы берут волновую аберрацию (по величине волновой аберрации судят о качестве оптической системы). Однако, если аберрации велики, то более целесообразно использовать для оценки качества изображения поперечные аберрации.