|
|
Основные соотношения параксиальной оптики связывают между собой фокусные расстояния, положение и размеры предмета и изображения, угловое, линейное и продольное увеличения.
Рис.5.3.1. Схема для вывода основных соотношений параксиальной оптики.
Для вывода зависимости между положением и размером предмета
и изображения воспользуемся рис.5.3.1. 
подобен 
,
следовательно:
, отсюда
Тогда, в соответствии с выражением
(5.2.1), линейное
увеличение можно выразить следующим образом:
(5.3.1)
Аналогично, из подобия треугольников
и 
можно получить выражение:
(5.3.2)
Таким образом, увеличение можно выразить как через отрезок
, так и через
отрезок 
.
Отсюда можно получить формулу Ньютона:
|
(5.3.3) |
Если оптическая система находится в однородной среде
(
), то 
,
и формула Ньютона получает вид:
(5.3.4)
Выразим
и через
фокусные расстояния и отрезки 
и 
:
Тогда выражение (5.3.3) можно записать в виде:
После преобразований получим выражение, связывающее фокусные расстояния отрезки (формула отрезков или формула Гаусса):
|
(5.3.5) |
Вычислению параксиальных параметров склеенного объектива с использованием формулы отрезков посвящена лабораторная работа "Определение параксиальных параметров склеенного объектива".
Теперь рассмотрим угловое
увеличение, опять воспользовавшись рис.5.3.1. Из 
,
видно, что:
, отсюда
Аналогично можно вывести выражение:
Теперь можно выразить угловое увеличение через отрезки:
(5.3.6)
Выразим 
из формулы Ньютона (5.3.3), тогда после преобразований
получим выражение для вычисления углового увеличения:
|
(5.3.7) |
Из выражения (5.3.7) следует, что если выбрать плоскости
предмета и изображения таким образом, что 
и 
, то в
точках пересечения этих плоскостей с осью угловое увеличение равно единице.
Такие точки называются узловыми точками.
Чтобы найти узловые точки 
и 
, от переднего
фокуса откладывается заднее фокусное расстояние, а от заднего фокуса откладывается
переднее фокусное расстояние (рис.5.3.2). Отрезки 
и 
равны.
Если 
(
),
то узловые точки совпадают с главными.
Рис.5.3.2. Узловые точки.
Следствием выражений (5.3.2) и (5.3.7) является следующее соотношение:
|
(5.3.8) |
Рассмотрим различные положения предмета и изображения
(различные 
и 
):
. Тогда
, линейное
увеличение 
,
следовательно, предмет и изображение – это главные
плоскости. Угловое увеличение
.
. Тогда
, угловое
увеличение 
,
следовательно, предмет и изображение – это узловые
точки. Линейное увеличение 
.
. Тогда
, линейное
увеличение 
,
угловое увеличение 
,
следовательно, предмет находится на двойном фокусном расстоянии, то
есть расстояние между предметом и изображением минимально.
. Тогда
, линейное
увеличение 
,
угловое увеличение 
,
следовательно, предмет находится в переднем
фокусе, а изображение – в бесконечности.
. Тогда
, линейное
увеличение 
,
угловое увеличение 
,
следовательно, предмет находится на бесконечности, а изображение – в
заднем фокусе.
Рис.5.3.3. Связь продольного увеличения с поперечным и угловым.
Рассмотрим рис.5.3.3. Длину отрезков 
и 
можно
выразить следующим образом:
По определению продольного
увеличения (5.2.4):
После преобразований, с учетом выражений (5.3.1)
и (5.3.2), получим:
(5.3.9)
где 
и 
– поперечные (линейные) увеличения
в точках 
и 
.
Или, с учетом выражения (5.2.5):
(5.3.10)
Теперь рассмотрим продольное увеличение для бесконечно
малых отрезков (
,
) (по определению
это и есть продольное увеличение). В этом случае линейное увеличение в
точках 
и 
будет
одинаковым, следовательно:
|
(5.3.11) |
Из выражения (5.3.8) можно получить:
|
(5.3.12) |
Если оптическая система находится в однородной среде
(
), то:
, 
(5.3.13)
То есть продольное увеличение равно квадрату линейного увеличения, а угловое обратно пропорционально ему.
Диоптрийное исчисление – это измерение продольных
отрезков в обратных единицах (диоптриях):
, 
где 
– приведенная
длина.
Одна диоптрия соответствует приведенному отрезку в 1м. Если отрезок измеряется в мм, то обратный отрезок измеряется в килодиоптриях.
Используя формулу отрезков (5.3.5)
и выражение (5.2.5) можно получить
важное соотношение для приведенных отрезков в пространстве предметов и
изображений и оптической силы,
измеряемых в диоптриях:
или
|
(5.3.14) |
и 
– приведенные передний и задний отрезки в диоптриях. То есть оптическая
система увеличивает приведенный отрезок в пространстве изображений (в дптр)
на величину оптической силы.
Инвариант Лагранжа-Гельмгольца связывает линейный размер предмета и угловой размер пучка лучей (рис.5.3.4). Эта величина инвариантна, то есть неизменна в любом пространстве.
Рис.5.3.4. Величины, которые связывает инвариант Лагранжа-Гельмгольца.
Для вывода этого инварианта воспользуемся выражением (5.3.8), связывающим угловое и линейное увеличения. Тогда воспользовавшись выражениями (5.2.1) и (5.2.3), определяющими линейное и угловое увеличения, получим следующее соотношение:
(5.3.15)
Выражение (5.3.15) можно преобразовать, и тогда получим
инвариант Лагранжа-Гельмгольца:
|
(5.3.16) |
Инвариант Лагранжа-Гельмгольца характеризует информационную емкость оптической системы, то есть величину пространства, которое может быть отображено оптической системой. Этот инвариант математически выражает закон сохранения информации в геометрической оптике.
Примеры вычисления параксиальных параметров линз различных типов с использованием основных соотношений параксиальной оптики рассматриваются в практическом занятии "Определение параксиальных параметров линз различных типов".
| ;
|
