Электронный учебник по курсу Основы оптики

Математический аппарат, применяемый в теории электромагнитного поля – это теория скалярного и векторного поля. Предмет этого раздела математики – скалярные (А.1) и векторные (А.2) функции от трех пространственных переменных (радиус-вектора точки в пространстве):

        (А.2) Приемники электрической энергии Приемники электрической энергии делятся на пассивные и активные. Пассивными называют приемники в которых не возникает ЭДС. Вольтамперные характеристики пассивных приемников проходят через начало координат. При отсутствия напряжения ток этих элементов равен нулю. Основной характеристикой пассивных элементов является сопротивление. Пассивные элементы, сопротивление которых не зависит от приложенного напряжения называются линейными. Реально таких элементов не существует. Но весьма близки к ним резисторы, реостаты, лампы накаливания и др. Зависимость напряжения от тока в таких элементах определяется законом Ома, т.е. U = IR, где R - сопротивление элемента. Эта зависимость не меняется, если напряжение и ток - переменное.

В соотношениях теории поля используются дифференциальные операторы дифференцирования по времени (например, ) и по пространственным координатам. Операторы дифференцирования по пространственным координатам могут быть векторами или скалярами, с которыми можно производить все известные из векторной алгебры действия, в частности, векторное произведение (А.3), скалярное произведение (А.4) и смешанное произведение (А.5):

        (А.3)

        (А.4)

        (А.5)

Дифференциальные операторы 1-го порядка

Оператор дифференцирования по пространственным координатам является вектором:

        (А.6)

Применяя оператор к скалярному или векторному полю, можно получить следующие скалярные и векторные величины:

        (А.7)

        (А.8)

        (А.9)

Результаты выражений (А.7) и (А.9) – векторы, а результат выражения (А.8) – скаляр.

Дифференциальные операторы 2-го порядка

Оператор называется оператором Лапласа:

        (А.10)

Применение этого оператора к скалярному полю дает скалярную величину (А.11), а к векторному – векторную (А.12):

        (А.11)

        (А.12)

Основные математические тождества теории поля

Все рассмотренные соотношения широко используются в оптике для описания светового поля, вывода уравнений и законов геометрической оптики.