Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Электронный учебник по курсу Основы оптики Основы оптики

1.3. Математическое описание электромагнитных волн

Для случая линейных и однородных сред вместо уравнений Максвелла можно использовать волновые уравнения.

1.3.1. Волновые уравнения

В скалярной теории электрическое и магнитное поля могут быть описаны независимо друг от друга, а волновые уравнения одинаковы для векторного и скалярного полей.

волновое уравнение
для электрической составляющей поля		волновое уравнение
для магнитной составляющей поля
или       Расчет методом контурных токов Курс теоретических основ электротехники
или      

Волновое уравнение в общем виде:

        (1.3.5)

где – любая из составляющих электрического вектора или возмущение поля в какой-то точке пространства в какой-то момент времени,
– вторая производная возмущения по пространственным координатам,
– вторая производная возмущения по времени.

1.3.2. Монохроматическое поле

Монохроматическое поле – это поле, зависящее от времени по гармоническому закону:

        

где – амплитуда возмущения (функция пространственных координат),
– циклическая частота изменения поля во времени,
– фаза поля (функция пространственных координат).

Характеристики монохроматического поля:

Волновое возмущение можно записать через эйконал поля :

  

Эйконал поля – фаза светового поля, выраженная как оптическая длина хода лучей данного пучка.

,
  

Оптическая длина луча (optical path difference, OPD) – это произведение показателя преломления на геометрическую длину пути . Приращение эйконала равно оптической длине луча:

 

1.3.3. Комплексная амплитуда

Пусть – комплексная амплитуда поля, то есть функция только пространственных координат:
 

где – вещественная амплитуда.

Если вещественная амплитуда волны не зависит от пространственных координат, то такая волна называется однородной волной.

Эйконал поля можно выразить через комплексную амплитуду:

    

где – фаза поля.

1.3.4. Уравнение Гельмгольца

Уравнение Гельмгольца (Helmgolz equation) – это уравнение для монохроматического поля, в которое входит только комплексная амплитуда:

 
 

;